Matematyka.pl

witam
mam jeszcze z jednym zadaniem problem
jak ktos pomoze to bedzie fajnie
oto ono

Udowodnij nastepujace twierdzenie: Obszary powstale przez pociecie plaszczyzny prostymi moga byc pokolorowane dwoma kolorami tak, ze sasiednie obszary maja rozne kolory.

Wskazowka: Po dorysowaniu dodatkowej prostej mozna w kazdym obszarze po jednej stronie tej prostej zamienic kolory.


Pozdrawiam

No to skorzystaj z tej wskazówki, która masz. dowodzisz przez indukcję - czyli dla 2 prostych sie zgadza i teraz jeśli mamy n prostych to dorysowanie jednej nie uniemożliwia zbudowania takiego układu. Wystarczy zauważyć, ze prosta przechodząc przez jakis obszar przecina go tylko raz. Skoro układ po którejś ze stron spełniał warunki to zamiana kolorów niczego nie zmieni, pozwoli także utrzymac zadany układ po drugiej stronie prostej.

jak dorysuje prosta to po jednej stronie kolory pozostaja bez zmian, ale nie wiem wciaz jak wyazac, ze po drugiej stronie mozna ustawic kolory tak aby sasiednie boki obszarow byly w innych kolorach



pozdrawiam

Z tego co pamietam to w tym zadaniu w kroku wystarczylo dla podzialu spelniajacego zalozenie pomalowac go, pozniej poprowadzic prosta i po jednej stronie tej prostej zmienic wszystkie kolory na przeciwne, otrzymujac kolorowanie spelniajace zalozenia co konczy krok ind.

No dokładnie tak jak napisałem i potwierdził to limes123. Skoro masz dany układ, który spełnia warunek (założenie) to dorysowując prostą, która przecina poszczególne obszary tylko raz, będziesz miał następujacą sytuację:
- po jednej stronie masz obszar, którego nie zmieniasz, czyli z założenia spełnia on warunki
- po drugiej stronie zmieniasz kolory na przeciwne(czarny na biały lub biały na czarny), układ po tej stronie ma jedynie kolory zmienione na przeciwne(wykonano podstawienie na tym układzie) - z założenia spełnia więc warunki
- w obszarach, które przecięła prosta mieliśmy pierwotnie po jednym kolorze w obszarze, a prosta przecięła je co najwyżej raz, w taki sposób, że dla każdego przeciętego obszaru jedna jego część znajduje sie po jednej, a druga po drugiej stronie prostej. Wykonując zamianę kolorów obszarów na przeciwne po jednej stronie prostej spełniliśmy warunek między obszarami powstałymi w wyniku przecięcia jednego obszaru przez prostą. Wcześniej udowodniliśmy, że taka zamiana kolorów na przeciwne po jednej stronie prostej nie powoduje, że oszary po obu stronach prostej tracą daną własność - co kończy dowód kroku indukcyjnego

jak pierwszy raz przeczytalem to myslalem, ze taki dowod nie ma sensu
ale po doglebnym zastanowieniu zrozumialem, ze to sa spox odpowiedzi:))
dzieki


pozdrawiam

Wybaczcie że wygrzbuję ten stary temat. Czy takie dowodzenie słowne jak wyżej jest wystarczające czy trzeba to jeszcze jakoś udowodnić liczbami?