Matematyka.pl

Dowieść, że równanie
\(\displaystyle{ x ^{3}+3=4y(y+1)}\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

\(\displaystyle{ x^3 + 3 = 4y(y+1)}\)

\(\displaystyle{ x^3 = 4y(y+1) - 3}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{4y(y+1) - 3}}\)

\(\displaystyle{ x = 2\sqrt[3]{\frac{y(y+1)}{2} - \frac{3}{8}}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą całkowitą to:

\(\displaystyle{ y(y+1)}\) jest liczbą parzystą więc \(\displaystyle{ \frac{y(y+1)}{2}}\) jest liczbą całkowitą, więc \(\displaystyle{ \frac{y(y+1)}{2} - \frac{3}{8}}\) nie jest liczbą całkowitą a więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{y(y+1)}{2} - \frac{3}{8}}}\) też nie jest.

Czyli jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest liczbą całkowitą to \(\displaystyle{ x}\) nie jest.

\(\displaystyle{ x^3+3=4y^2+4y}\)
\(\displaystyle{ 4y^2+4y-x^3-3=0}\)
\(\displaystyle{ \delta=64+16x^3}\) x jest większy bądź równy -1
\(\displaystyle{ y=(-1-\sqrt{4+x^3})/2}\) lub \(\displaystyle{ y=(-1+\sqrt{4+x^3})/2}\) \(\displaystyle{ \sqrt{4+x^3}}\) jest nieparzyste po pierwiastki tego trojmianu musza byc całkowite. Więc założenie kolejne x nieparzyste bo 4+x do 3 nieparzyste, ale to tylko założenie. Z chęcią dążyłbym do WTF, ale jestem za bardzo śpiący żeby to do końca udowodnić, zaryzykowałbym, że to już koniec dowodu, że nie ma takiej liczby nieparzystej x spełniającej ostatni warunek:)