Matematyka.pl

Rozwiązać:

a) \(\displaystyle{ y` + tgx*y = \frac{1}{cosx}}\)
b) \(\displaystyle{ (x ^{2} + ycosx) + (y ^{3} + sinx)y`}\)

Dziękuje za pomoc, pozdrawiam.

a)

Najpierw liczymy różniczkę jednorodną

1) \(\displaystyle{ y'+ytgx= \frac{1}{cosx}}\), a więc:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} +y \cdot tgx=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=-y \cdot \frac{sinx}{cosx}}\)

następnie rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie równanie:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{y} dy= -\int_{}^{} \frac{sinx}{cosx}}\)

wychodzi nam:



\(\displaystyle{ lny=ln \left|C \cdot cosx \right|}\)

stąd

\(\displaystyle{ y=C \cdot cosx}\) i jest to całka ogólna równania liniowego jednorodego CORLJ

Teraz musimy wyliczyć jeszcze całkę szczególną, aby to zrobić w tym przypadku należy zastosować metodę uzmienniania stałej, czyli:

2) \(\displaystyle{ Y(x)=C(x) \cdot cosx}\)

liczymy pochodna 2)

3) \(\displaystyle{ Y'(x)=C'(x) \cdot cosx-C(x) \cdot sinx}\)

Równania 2) i 3) podstawiamy do równania 1) i wyznaczamy C'(x)
Powinniśmy otrzymać:

\(\displaystyle{ C'(x)= \frac{1}{cos ^{2}x }}\)

Całkujemy to równanie by otrzymac C(x). C(x) podstawiamy do do równania 2) i jest to całka szczególna.

Rozwiązaniem równania 1) jest suma CORLJ z calka szczegolna

[ Dodano: 24 Września 2008, 17:44 ]
a ten drugi przyklad... to sam chetnie zobacze jak sie rozwiazuje:P

[ Dodano: 24 Września 2008, 20:05 ]
a ten drugi przyklad... to sam chetnie zobacze jak sie rozwiazuje:P