Matematyka.pl

Mam mały problem. Nie wiem jak rozwiązać dane zadanie:
Wyznacz te wartości parametru m, dla których oba rozwiązania równania \(\displaystyle{ mx^2 - (m^2 + m
+ 1)x + m + 1 =0}\) są większe od 1.
Wiem że trzeba rozwiązać dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ m=0}\) wówczas \(\displaystyle{ -x +1 = 0}\) a więc \(\displaystyle{ x= 1}\) i z tego wynika że \(\displaystyle{ m=0}\) nie spełnaia warunków zadania.

Natomiast bardziej skomplikowany jest drugi przypadek:
2. Musimy założyć, że:
\(\displaystyle{ m \neq 0 \wedge \Delta \geqslant 0}\)


i teraz są dwie opcje \(\displaystyle{ m>0 \wedge \Delta \geqslant 0 \wedge (p,q)>1 \wedge f(1)>0}\)

albo

\(\displaystyle{ m1 f(1)}\)

Co do pierwszego założenia to w ogóle go nie rozpatrujesz bo w treści zadania pisze "oba rozwiązania" czyli muszą być dwa.

\(\displaystyle{ p = -\frac{b}{2a}}\)

Czyli jeśli masz warunek \(\displaystyle{ p > 1}\) to już sobie łatwo możesz podstawić i wyliczyć

Ale jak to zrobić??

Masz dwie opcje...

a)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} m>0\\ \Delta>0 \\f(1)>0 \\ p > 1 \end{array}}\)

Obliczamy warunek \(\displaystyle{ \Delta \geqslant 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (m^2 + m + 1) ^2 - 4 \cdot m \cdot (m+1) = m^4 + 2m^3 + 3m^2 +2m +1 -4m^2 - 4m = m^4 + 2m^3 - m^2 -2m + 1}\)

Rozwiązujesz nierówność

\(\displaystyle{ m^4 + 2m^3 - m^2 -2m + 1 \geqslant 0}\)

\(\displaystyle{ m^4 + 2m^3 - m^2 -2m + 1 = m^2 \cdot (m^2+2m) - (m^2 + 2m) + 1 = (m^2+2m)(m^2 -1 ) + 1}\)

Wyrażenie to jest większe lub równe 0 dla każdego m.


Obliczamy warunek f(1) > 0


\(\displaystyle{ f(1) = m - (m^2+m+1) + m + 1 = m - m^2 -m -1 + m + 1 = -m^2 + m}\)

\(\displaystyle{ -m^2 + m > 0}\)

\(\displaystyle{ -m(m-1) > 0}\)

\(\displaystyle{ m \in (0, 1)}\)


Obliczamy warunek p > 1


\(\displaystyle{ p = \frac{m^2 +m +1}{2(m+1)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{m^2 +m +1}{2(m+1)} > 1}\)

To sobie rozwiążesz a dla drugi przypadek to:

b)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} m0 \\f(1) 1 \end{array}}\)

Dzięki, o to mi chodziło!