Matematyka.pl

Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^{3}+2 x^{2}-x-2}\) jest równa \(\displaystyle{ x^{2}+x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)=x^{2}-1}\).

Wielomian P(x) możemy zapisać także w postaci iloczynowej: P(x)=(x-1)(x+1)(x-2).

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x) + x^{2}+x+1}\)
Mamy: W(1)=3, W(-1)=1 i W(2)=7

\(\displaystyle{ W(x)= (x^{2}-1)R(x) +ax+b = (x+1)(x-1)R(x)+ax+b}\) gdzie
ax+b to szukana reszta z dzielenia.
Mamy W(1)=a+b i W(-1)=-a+b.

Po rozwiązaniu układu 2 równań z 2 niewiadomymi mamy: a=1 i b=2.
A więc szukana reszta z dzielenia to: x+2.

Reszta z dzielenia jest co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\) stopnia, bo dzielimy przez wielomian stopnia drugiego