Matematyka.pl

Znajdź ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=xy}\) przy warunku \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 2 a ^{2}}\).

Niby wszystko spoko, używając metody mnożników Lagrange znajduję punkty podejrzane o ekstremum funkcji \(\displaystyle{ F=F(x,y,\lambda)}\)
\(\displaystyle{ A_{1} = ( a,a,- \frac{1}{2} ) \\
A_{2} = (-a,-a,- \frac{1}{2}) \\
A_{3} = (a,-a, \frac{1}{2} ) \\
A_{4} = (-a,a, \frac{1}{2})}\)

No ale..nie wiem jak teraz zbadać gdzie to ekstremum występuje bo wyznacznik macierzy drugich pochodnych się zeruje (chyba, że coś schrzaniłem:P). Pewno jest jakaś inna metoda, o której mi sie nawet nie śniło..Byłbym wdzięczny gdyby jakaś dobra dusza wytłumaczyła co zrobić dalej (o ile wogóle dobrze do tego momentu policzyłem).


Anyone?:(

y+2lambda x=0 oraz x+2lambda y=0
\(\displaystyle{ x-y^2/x=0}\)
1. Przy założeniu x różne od 0 wyliczamy iż x=y lub x=-y
y=a lub y= -a. Powstają wtedy punkty stacjonarne (a, -a) oraz (-a,a).
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2a^2-x^2}}\) z tego ekstrema wyliczamy.
Niestety przy pochodnej równej\(\displaystyle{ -x/\sqrt{2a^2-x^2}}\) i przy założeniu x różne od 0 niestety nie ma pochodnej.
2. jak x=0 to y=0 no i w tym punkcie jest ekstremum, ponieważ powyższa pochodna zeruje się dla x=0. i ta funkcja dla x=0 ma maksimum.
Tak mi się wydaje:)

pajong88 pisze:2. jak x=0 to y=0 no i w tym punkcie jest ekstremum, ponieważ powyższa pochodna zeruje się dla x=0. i ta funkcja dla x=0 ma maksimum.

Bzdura. (x,y)=(0,0) nie spełniają warunku.
Poza tym nie odpowiedziałeś na pytanie. sirpietros obliczył punkty krytyczne. Pytanie jest czy w tych punktach znajdują się minima czy maksima. Tu się rozchodzi o macierz drugich pochodnych, tj:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}&\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}\\\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}&\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\end{array}\right]}\)
Fakt, czy wyznacznik takiej macierzy jest większy bądź mniejszy od zera mówi nam o rodzaju tego ekstremum. Co jednak jak ten wyznacznik jest równy zero? A w tym wypadku jest właśnie równy zero. (Sam się chętnie tego dowiem )

a jak obliczyles A1, A2, A3 i A4 ?