Matematyka.pl

Działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich definiujemy następująco :
\(\displaystyle{ a b=\frac{a+b}{2}-\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\)

a) Udowodnij , że \(\displaystyle{ a b qslant 0}\) dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)

b) Znajdź takie \(\displaystyle{ b}\) , by spełniona była równość \(\displaystyle{ 1*b=3*1}\)

a)\(\displaystyle{ a b=\frac{a+b}{2}-\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{a+b}{2}- \frac{2}{ \frac{a+b}{ab} }= \frac{a+b}{2}- \frac{2ab}{a+b}= \frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} qslant 0}\)