Matematyka.pl

Witam!
Czy ktoś mógłby mi pomóc? Ten dział matematyki nie jest moją najmocniejszą stroną

Znaleźć postać ogólną rozwiązania równania różniczkowego

\(\displaystyle{ y''-y'-12y=x}\)

Rozwiązać to równanie przy warunkach początkowych y(0)=1, y'(0)=-1.

z góry dziękuję

Równanie liniowe jednorodne
\(\displaystyle{ y''-y'-12y=0}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ \lambda^2-\lambda-12=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda = -3 \lambda =4}\)
\(\displaystyle{ \varphi_1 (x)=C_1 e^{-3x}+C_2 e^{4x}, x \mathbb R}\)
Metoda przewidywań
\(\displaystyle{ \varphi_2(x)=ax+b, x\in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \varphi_2'(x)=a,}\)
\(\displaystyle{ \varphi_2''(x)=0}\)
Wstawiając do równania mamy
\(\displaystyle{ -a-12(ax+b)=x}\)
Stąd \(\displaystyle{ a=-\frac{1}{12}}\) \(\displaystyle{ b=\frac{1}{144}}\)
\(\displaystyle{ \varphi_2(x)=-\frac{1}{12}x+\frac{1}{144}, x\in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \varphi(x)=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)}\)
\(\displaystyle{ \varphi(x)=c_1 e^{-3x}+c_2e^{4x}-\frac{1}{12}x+\frac{1}{144}, x\in \mathbb R}\)