Matematyka.pl

Witam.

Dany jest dowolny trójkąt ABC. Na boku AB leży punkt D. Znaleźć konstrukcyjne takie punkty E i F leżące odpowiednio na bokach BC i AC, żeby obwód trójkąta DEF był jak najmniejszy.

Z góry dziękuję za pomoc.

Ogólniej: https://matematyka.pl/78639.htm?highlight=#295850.

Elvis - dzięki, niestety mało co rozumiem...
Jeśli wmiarę skapowałem, to robimy odbicie symetralne punktu D względem jednego i drugiego boku, czyli otrzymujemy niech będzie to punkty D' i D''. Potem tworzymy prostą D'D'' i miejsce przecięcia tej prostej z bokami BC i AC to będą szukane punkty E i F.
Lecz jeśli nawet jest to dobra konstrukcja, to jak ją udowodnić? :/

Przyjmując analogiczne oznaczenia:
\(\displaystyle{ DE+EF+FD = DE+EF'+F'D'' \geqslant DD''}\)
Pierwsze wyrażenie to obwód trójkąta, drugie to długość łamanej DEF'D'' (równość wynika z równości odpowiednich składników), trzecie to długość odcinka DD'' (nierówność jest oczywista). Gdy przyjmiemy E i F takie, że E i F' leżą na DD'', obwód trójkąta DEF będzie minimalny i równy długości DD''.

Edit: Podam dokładne oznaczenia, żeby nie było wątpliwości:
A', D', F' - odbicia A, D i F względem BC
D'' - odbicie D' względem A'C