Matematyka.pl

liczby 3 i -1 sa pierwiastkami równania \(\displaystyle{ 2x^3 + mx^2 - nx +6 =0}\) . Oblicz m i n, oraz wyznacz trzeci pierwiastek równania

Niech:
\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+mx^2-nx+8}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ W(3)=0 \quad \quad W(-1)=0}\)

W drugiej czesci zadania wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-3)(x+1)(x-\lambda)}\)
, gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest szukanym trzecim pierwiastkiem rownania.

W czym problem? \(\displaystyle{ \begin{cases}54+9m-3n+6=0 \\ -2+m+n+6=0 \end{cases}}\) - z tego wyliczamy: \(\displaystyle{ m=-6, n=2}\) i potem wyłączamy przed wielomian: \(\displaystyle{ (x-3)}\) i następnie: \(\displaystyle{ (x+1)}\), wychodzi równanie równoważne wyjściowemu: \(\displaystyle{ 2(x-3)(x+1)(x-1)=0}\) - to, mam nadzieję, wiadomo jak rozwiązać.

\(\displaystyle{ 2x^{3}+mx^{2}-nx+6=0}\)

Wiemy, że liczby \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 3}\) są pierwiastkami danego równania.

Niech \(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}+mx^{2}-nx+6}\). Wówczas mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} W(-1)=0 \\ W(3)=0 \end{cases} \iff \begin{cases} -2+m+n+6=0 \\ 54+9m-3n+6=0 \end{cases} \iff \begin{cases} m+n=-4 \\ 9m-3n=-60 \end{cases} \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff \begin{cases} m+n=-4 \\ 3m-n=-20 \end{cases} \iff \begin{cases} 4m=-24 \\ n=-4-m \end{cases} \iff \begin{cases} m=-6 \\ n=2 \end{cases}}\)

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ W(x)=2x^{3}-6x^{2}-2x+6}\).

\(\displaystyle{ W(x)=0 \iff 2x^{3}-6x^{2}-2x+6=0 \iff 2x^{2}(x-3)-2(x-3)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff (x-3)(2x^{2}-2)=0 \iff 2(x-3)(x^{2}-1)=0 \iff}\)

\(\displaystyle{ \iff 2(x-3)(x-1)(x+1)=0 \iff x=-1 x=1 x=3}\)

Odp.: \(\displaystyle{ \begin{cases} m=-6 \\ n=2 \end{cases}}\). Trzecim pierwiastkiem równania jest liczba \(\displaystyle{ 1}\).