Matematyka.pl

Witajcie!

Jak obliczyć granicę takiej funkcji?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{1}{xsin(x)}- \frac{1}{x^2}}\)

robimy coś takiego
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{1}{xsin(x)}- \frac{1}{x^2}=\lim_{ x\to0 }\frac{x^2-xsinx}{x^3sin(x)}=[\frac{0}{0}]=...}\)
następnie do oporu z reguły de La Hospitala.

czyli tak
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}\frac{x-sinx}{x^2sinx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{2xsinx+x^2cosx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{2 sinx+2xcosx+ 2xcosx-x^2sinx}=
\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{2 sinx+4xcosx-x^2sinx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{-cosx}{2 cosx+4 cosx-4xsinx -2xsinx +x^2cosx}=
-\lim_{x\to 0}\frac{cosx}{6 cosx-4xsinx -2xsinx +x^2cosx}=-\frac{1}{6-0-0+0}=-\frac{1}{6}}\)

robin5hood pisze:czyli tak
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to 0}\frac{x-sinx}{x^2sinx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{2xsinx+x^2cosx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{2 sinx+2xcosx+ 2xcosx-x^2sinx}=
\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{2 sinx+4xcosx-x^2sinx}=H=
\lim_{x\to 0}\frac{-cosx}{2 cosx+4 cosx-4xsinx -2xsinx +x^2cosx}=
-\lim_{x\to 0}\frac{cosx}{6 cosx-4xsinx -2xsinx +x^2cosx}=-\frac{1}{6-0-0+0}=-\frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)Konkretnie z tego co wynika z rozwiązań, ale metoda jest Dzięki!