Matematyka.pl

Korzystając z indukcji wykaż:
a) \(\displaystyle{ 2!\cdot 4!\ldots \cdot (2n)!>[(n+1)!]^n}\) przy \(\displaystyle{ n>1}\)
b) \(\displaystyle{ (2n)!}\)

no i gdzie konkretnie problem?

Ptolemeusz,

W indukcji ?

gosiunia1234,

\(\displaystyle{ 2!\cdot 4!\cdot ... \cdot (2n)!\cdot (2n+2)!>[(n+1)!]^n\cdot (2n+2)!}\)

Wystarczy dowieść, że:

\(\displaystyle{ [(n+1)!]^n\cdot (2n+2)!>[(n+2)!]^{n+1}}\)

czyli, że

\(\displaystyle{ (2n+2)!>(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}}\)

To znowu indukcyjnie:

\(\displaystyle{ (2n+2)!(2n+3)(2n+4)>(2n+3)(2n+4)(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}}\)

Czyli udowodnić nierówność:

\(\displaystyle{ (2n+3)(2n+4)(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}>(n+2)!\cdot (n+3)^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ 2(n+2)(2n+3)(n+1)!\cdot (n+2)^{n+1}>(n+1)!\cdot (n+2)(n+3)^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{4n+6}{n+2}>(1+\frac{1}{n+2})^{n+2}}\)

I zauważ, że:

\(\displaystyle{ \frac{4n+6}{n+2}>3>(1+\frac{1}{n+2})^{n+2}}\)

C.N.D.

Nie wiem czy indukcja tutaj była taka oczywista... Chyba, że przekombinowałem ...

Zadanie 2.

\(\displaystyle{ (2n+2)!=(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)=(2n)!\cdot 2(n+1)(2n+1)}\)