Matematyka.pl

Wykazać ciągłość funkcji wielu zmiennych:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^{3}y}{x ^{4}+y ^{2}} (x,y) (0,0) \\ 0 (x,y)=(0,0) \end{cases}}\)

z góry dziękuję:)

W punktach różnych od \(\displaystyle{ (0,0)}\) funkcja jest ciągła należy tylko zbadać ciągłość w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} f(x,y)=\lim_{( x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{2}}}\)


\(\displaystyle{ \frac{x^{4}+y^{2}}{2} qslant \sqrt{x^{4} y^{2}} = |x^{2} y|}\), stąd:

\(\displaystyle{ 0 qslant ft| \frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{2}} \right| qslant ft| \frac{2 x^{3} y}{x^{2}y} \right| = |2x| 0}\)

więc:
\(\displaystyle{ \lim_{( x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3} y}{x^{4}+y^{2}} =0=f(0,0)}\)

czyli funkcja jest ciągła