Zauważmy, że każdy z wymienionych warunków możemy zapisać w następujący sposób:
"Aby każdymi dwoma klockami z (napisaną liczbą)
\(\displaystyle{ k}\) było
\(\displaystyle{ n-k+1}\) innych klocków...", gdzie
\(\displaystyle{ n \ge k \ge 2}\) i oczywiście
\(\displaystyle{ k \in N}\).
1' Teraz załóżmy, że istnieje takie ułożenie klocków, że ich "ciąg" rozpoczyna się i kończy klockiem z liczbą
\(\displaystyle{ k}\), a w odstępie między każdymi dwoma znajduje się
\(\displaystyle{ n-k+1}\) klocków. Takich odstępów jest
\(\displaystyle{ k-1}\), zatem 'innych' klocków będzie
\(\displaystyle{ (k-1)(n-k+1)}\). Zatem jeśli do ilości tych klocków dodamy ilość klocków z liczbą
\(\displaystyle{ k}\), to otrzymamy liczbę wszystkich klocków, czyli:
\(\displaystyle{ k+(k-1)(n-k+1)= \frac{n(n+1)}{2}}\)
Przekształcamy zatem nasze równanie dalej i otrzymujemy kolejno:
\(\displaystyle{ k+kn-k^{2}+k-n+k-1= \frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2(-k^{2}+kn+3k-n-1)=n^{2}+n}\)
\(\displaystyle{ -2k^{2}+2kn+6k-2n-2=n^{2}+n}\)
\(\displaystyle{ -k^{2}+6k-(3n-2)=k^{2}-2kn+n^{2}}\)
\(\displaystyle{ -k^{2}+6k-(3n+2)=(k-n)^{2}}\)
Teraz zastanówmy się nad liczbą
\(\displaystyle{ k}\). Z ostatniego równania wiemy, że liczby
\(\displaystyle{ -k^{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ -(3n+2)}\) są ujemne, zaś liczba
\(\displaystyle{ (k-n)^{2} \ge 0}\). Stąd mamy:
\(\displaystyle{ 6k \ge k^{2}+3n+2 \Leftrightarrow k(6-k) \ge 3n+2}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ n,k \in N}\), więc lewa strona ostatniej nierówności jest dodatnia, czyli
\(\displaystyle{ k<6}\). Zatem
\(\displaystyle{ k}\) może przyjmować wartości 2,3,4 lub 5.
Rozwiążmy równanie
\(\displaystyle{ -k^{2}+6k-(3n+2)=(k-n)^{2}}\) dla
\(\displaystyle{ k=2}\):
\(\displaystyle{ -4+12-3n-2=(n-2)^2 \Leftrightarrow 6-3n=(n-2)^2 \Leftrightarrow n^{2}-n-2=0 \Leftrightarrow n=-1 \vee n=2}\) (-1 odrzucamy, gdyż n jest liczbą naturalną)
Czyli warunek "Między każdymi dwoma klockami z liczbą 2 (k) jest 1 inny klocek." jest spełniony dla
\(\displaystyle{ n=2}\). Oczywiście jest to prawdziwe (jak już wcześniej dowodzono).
Teraz załóżmy, że
\(\displaystyle{ k=3}\). Mamy więc:
\(\displaystyle{ -9+18-3n-2=(n-3)^{2} \Leftrightarrow n^{2}-3n+2=0 \Leftrightarrow n= \frac{3 \pm 1}{2} \Leftrightarrow n=2 \vee n=1}\). Otrzymujemy jednak sprzeczność, gdyż z założenia
\(\displaystyle{ k \le n}\).
Dla
\(\displaystyle{ k=4}\) mamy:
\(\displaystyle{ -16+24-3n-2=(n-4)^{2} \Leftrightarrow n^{2}-5n+10=0 \Leftrightarrow n \notin R}\) (delta jest ujemna). Podobnie w przypadku, gdy
\(\displaystyle{ k=5}\).
Jeśli zatem nasz układ klocków wygląda tak, że na jego obu końcach są klocki z tymi samymi liczbami, to jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ n=2}\), które spelnia tylko jeden (jedyny) warunek (ten ostatni)
---
2' Załóżmy teraz, że ilość klocków jest parzysta, tj. że 'ciąg' klocków rozpoczyna się klockiem z liczbą k, kończy zaś inną. Wtedy "odstępów" między klockami z liczbą k jest właśnie
\(\displaystyle{ k}\) (rozumując analogicznie, jak w przypadku pierwszym). Czyli ilość 'innych' klocków i ilość klocków z
\(\displaystyle{ k}\) dają razem ilość wszystkich klocków. Mamy:
\(\displaystyle{ k+(k)(n-k+1)= \frac{n(n+1)}{2} \Leftrightarrow k(n-k+2)= \frac{n(n+1)}{2}}\)
Po przekształceniach mamy:
\(\displaystyle{ -k^{2}+4k-n=(n-k)^{2}}\)
Rozumujemy tak samo, jak w przypadku pierwszym i dochodzimy do wniosku, że
\(\displaystyle{ k<4}\). Zatem k może być równe 2 lub 3.
Dla
\(\displaystyle{ k=2}\) równanie ma postać:
\(\displaystyle{ -4+8-n=(n-2)^{2} \Leftrightarrow n(n-3)=0 \Leftrightarrow n=0 \vee n=3}\). (wynik 0 odrzucamy z wiadomych przyczyn). Zatem (pozornie) mamy spełniony warunek dla k=2 i n=3.
Dla
\(\displaystyle{ k=3}\) jest:
\(\displaystyle{ -9+12-n=(n-3)^{2} \Leftrightarrow n^{2}-5n+6=0 \Leftrightarrow n=2 \vee n=3}\). Pierwszy wynik przeczy założeniu, że
\(\displaystyle{ k \le n}\). Zatem (pozornie) mamy spełniony warunek dla k=3 i n=3.
Udowodnimy jednak, że bezpośrednie sprawdzenie wyklucza n=3:
W poniższej linijce przedstawimy ciąg klocków dla n=3 (klocków będzie 6). Każda kropka oznacza jeden klocek, a liczba zamiast kropki bedzie oznaczała liczbę, znajdującą się na klocku:
\(\displaystyle{ ......}\)
Połowa liczb w tym 'ciągu' to trójki, a skoro mają być one z założenia odległe od siebie o 1 (między nimi ma być jeden klocek), to w takim razie ciąg klockow będzie miał postać:
\(\displaystyle{ 3.3.3.}\)
Ale zajmijmy się dwójkami. Z założenia są one odlegle od siebie o 2 klocki, więc do powyższego ciągu z trójkami trzeba 'wpleść' taki kawałek:
\(\displaystyle{ 2..2}\). Jest to NIEMOŻLIWE (wynika to bezpośrednio z różnej parzystości liczb 2 i 3 oraz tego, że w ciągu mamy tylko 6 klocków.)
---
Zatem jedynym \(\displaystyle{ n}\), spełniającym wyjściowe założenia zadania jest \(\displaystyle{ n=2}\).
Rozwiązania można dowieść na inny, bardziej logiczny? sposób, właśnie metodą kropek i wstawiania w ciągi klocków mniejszych, wynikających z założeń (tak jak w przypadku dowodzenia, że n=3 nie spelnia obydwu warunków). Można opierać się na faktach, że dla n>3 wśród liczb naturalnych, mniejszych od n znajdzie się co najmniej para liczb względnie pierwszych, co utrudnia znalezienie odpowiedniego ciągu klocków lub skorzystać z właściwości liczb trójkątnych. Ja jednak nie będę tego rozwiązania wprowadzał, gdyż myślę, że i to jest dobre (i mam nadzieję, że jest dobre, bo inaczej zmarnowałem ponad pół godziny pisania
).
Mam nadzieję, że pomogłem w rozwiązaniu problemu.