Matematyka.pl

Należy udowodnić, że \(\displaystyle{ n^{5} -n, n N}\) jest podzielna przez 30.

Jak to się rozłoży to wyjdzie \(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n ^{2} +1)}\) Co już samo w sobie dowodzi podzielności przez 2 i 3. Nie umiem jednak dowieść tego, że dzieli się przez 5.

Z góry dziękuję za pomoc.

Jeśli liczba jest postaci \(\displaystyle{ n=5k-1, n=5k, lub n=5k+1}\) to jest oczywiste. Należy więc sprawdzić, czy liczba postaci \(\displaystyle{ n=5k+2}\) lub \(\displaystyle{ n=5k-2}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ 5| n^2+1}\), a to zostawiam dla Ciebie

podzielnosc przez 5, wynika bezposrednia z Małego Twierdzenie Fermata.

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ n^2 +1=n^2 -4+5=(n-2)(n+2)+5}\).