Matematyka.pl

Kwant, było to pismo jakie ukazywało juz jakis czas temu, po ros oryginalnie w skrocie "Nauczno popularnyj mat-fiz zurnal" i było nieco podobne do Delty. Miało wiele ciekawych kacikow, np olimpijskie, m in prezentowane było zadnia na rozne uczelnie, etc czyli skierowane do uczniow w roznycm wieku, studentow , etc. Była tez fizyka , całkiem niemało informatyki a nawet ...szachmaty. Był tez fajny konkurs zadnaiowy, tj po piec problemów w kazdym numerze. Wsyzstkie oryginalne i ciekawe , ponizej mała probka, aby mozna sprobowac sie z nimi. Tu jest miejsce - aby wpisywac rozwiazania! już pobieżna analiza tematów, wykazuje iz głownie dominowały dwa działy, tj geometria i kombinatoryka, ale nie tylko, A wiec nie przedłuzajac,...



969 Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ a, b, c >0}\) to zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{a+b+c}{3}}\)
976 Z wierzchołka A kwadratu ABCD poprowadzono dwa odcinki, tworzace ze sobą kąt 45 stopni. Jeden z nich przecina BC w punkcie E, przekątną BD w P, zaś drugi przecina bok CD w punkcie F, a przekątna BD w O. Wykazac, ze pole trójkąta AEF jest dwa razy wieksze niż pole trójkata APO.
977. Czy mozna za pomoca operacji mnożenia, dodawania i odejmowania otrzymać h(x)=x, z wielomianów p i q, jesli
a \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x, \ g(x)=x^2+2}\)
b \(\displaystyle{ f(x)=2x^2+x, \ g(x)=2x}\)
958* Niech \(\displaystyle{ 0 \leq i_1 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b} \geq 5\sqrt[5]{ab}}\)
987 W turnieju bierze udział \(\displaystyle{ 2m}\) drużyn. W pierwszej rundzie spotkało się ze sobą \(\displaystyle{ m}\) par drużyn, zaś w drugiej rundzie inne \(\displaystyle{ m}\) par. Wykazać, że można teraz wybrać \(\displaystyle{ m}\) drużyn, takie że żadne dwie znich jeszcze ze sobą nie grały.
988 Z punktu \(\displaystyle{ O}\) leżącego na płaszczyznie wychodzi \(\displaystyle{ n}\) wektorów jednostkowej długości. Wykazać, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ k MB}\), \(\displaystyle{ H}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ AB}\). Odcinki \(\displaystyle{ KH}\) i \(\displaystyle{ AM}\) są prostopadłe. Wykaż, że \(\displaystyle{ AH=HM+MB}\) (rys)
1002 a) Roztargniony matematyk zapomniał trzycyfrowy kod do swego mieszkania. Wciska przyciski 1...9 każdy co sekunde. Drzwi otworzą się, jeśli w pewnym momenice poprawna sekwencja trzech cyfr kodu zostanie wcisnieta. Matematyk uważa, że nawet jesli bedzie miał maksymalnego pecha", to po 16 min i 42 sek , tj (1002 s) otworzy drzwi. Czy ma racje?
1003 W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono trzy wysokości \(\displaystyle{ AH, BK, CL}\). Wykaż, że:
\(\displaystyle{ AK * BL* CH= AL* BH* CK=HK * KL * LH}\)
1004 Przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) trójkąta ABC, w którym \(\displaystyle{ AB \neq AC}\) prowadzi sie wszystkie możliwe proste. Wykaz ze każda z nich zawiera nie wiecej niż jeden punkt M, różny od A, B i C , i t. że kąty ABM i ACM są równe.
1005 Pola kwadratowej tablicy wymiarów \(\displaystyle{ n}\) x \(\displaystyle{ n}\) , \(\displaystyle{ n \geq 3}\) wypełniono liczbami +-1 według następujących reguł:
1) na obrzeżach tablicy występują tylko liczby -1
2) liczba w środku jest iloczynem dwóch sąsiadów w poziomie lub pionie
Ile jest możliwych układów takich liczb?


1007 Wykaż, że dwa trójkaty mające długości boków \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a_1, b_1, c_1}\) są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \sqrt{aa_1}+ \sqrt{bb_1}+ \sqrt{cc_1}= \sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}}\)
1008 Rozważamy schody mające \(\displaystyle{ 2n+1}\) stopni, i na każdym z \(\displaystyle{ n}\) najniższych z nich położony jest kamień. Dwóch graczy wykonuje naprzemian ruchy. Gracz A może dowolny kamień przełożyć na najniższy wolny stopień, zaś gracz B może przełożyć dowolny kamień o jeden stopień niżej, o ile jest on wolny. Celem gracza A jest położyc kamień na najwyższym stopniu. Czy gracz B może mu w tym przeszkodzić?
1009 Dwusieczna kąta A równoległoboku ABCD przecina proste BC i CD w punktach K i L. Wykazać, ze środek okręgu przechodzącego przez punkty C, K i L leży na okręgu który przechodzi przez B, C i D
1010 Ciąg \(\displaystyle{ r_1, r_2, r_3, ....}\) jest określony: \(\displaystyle{ r_1=2, \ r_{n+1}=1+ r_1....r_n}\) (tj. \(\displaystyle{ r_2=3, \ r_3=7, r_4=43}\). itd)
a) Wykaż, ze dla dowolnego n jest szacowanie \(\displaystyle{ \frac{1}{r_1}+...+\frac{1}{r_n} <1}\)
b) Przypuśćmy, że suma odwrotności pewnych n liczb jest mniejsza niż 1. Wykaż, że wtedy suma ta nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{r_1}+...+\frac{1}{r_n}}\)




M* 1017 Każdemu wierzchołkowi pięciokąta foremnego przypisano pewną liczbę całkowitą, ale tak, że suma wszystkich pięciu
liczb jest dodatnia. Wykonuje się taką operację: jesli kolejnym trzem wierzchołkom przypisano liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) i \(\displaystyle{ y<0}\) to
liczby te zamieniamy odpowiednio na: \(\displaystyle{ x+y, -y, z+y}\). Operację tę wykonujemy tak długo, aż nie będzie już żadnej liczby ujemnej. Czy proces ten może trwać w nieskończoność?
1021 Alpinista ma za cel wejść na górę-, o wysokości 1000 m. U podnoża góry rozbił namiot. Po nocy spędzonej w namiocie wspina sie (wraz z liną) w ciagu dnia 40 m na godzinę. Ma tez sprzet dzieki któremu może nocować na górze, tj nie musi na noc wracac do namiotu. Ale wtedy po takiej nocy wspina sie za dnia 30 m na godzinę. Jeśli wspina sie (po nocy w namiocie) na wiszacej juz linie, tj do miejsca gdzie skończył poprzedniego dnia, 400 m na godzinę. Ile dni bedzie potrzebował, aby zdobyć szczyt, jesli załozymy ze moze pracowac na skale 6 godzin dziennie, przy czym czas potrzebny na ewentualne zejscie na dół pomijamy.
1022M Zbadaj dla jakich n mozna liczby 1,...,2n ustawić w dwóch wierszach, po n liczb, tak aby suma w kazdej kolumnie była stała?! ;np dla n=4 mamy w pierwszym wierszu 1, 4,6, 7, zaś w drugim 8,5,3,2, etc
1023 Czy zawsze spośród 100 trójkątów znajdzie się choć jeden taki, który będzie można całkowice pokryć pozostałymi 99-oma ?


1024* Wykażać, że gdy dane są dowolne dwa trójkąty o kątach \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\), \(\displaystyle{ \alpha_1, \beta_1, \gamma_1}\) to zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{cos \alpha_1}{ sin \alpha} + \frac{cos \beta_1}{ sin \beta}+ \frac{cos \gamma_1}{ sin \gamma} \leq ctg \alpha + ctg \beta + ctg \gamma}\)
1026 Pięć równych łuków AB, BC, CD, DE, EA jest polożone tak, że każda jest podzielona dwoma sąsiednimi na trzy równe części. Jaka częścią okręgu przechodzacego przez A, B, C D i E jest każdy z tych łuków?
b To samo pytanie gdy mamy "kwiatek" złożony z m jednakowych "listków"
1027 Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 1985!! + 1986!!}\) jest podzielna przez 1987. Przez n!! rozumiemy iloczyn liczb naturalnych tworzacych ciag arytmetyczny o róznicy -2 i pierwszym wyrazie n, tj \(\displaystyle{ n!!=n(n-2)(n-4)...}\)
1028 Na płaszczyźnie połozone są dwie proste, które sie pzrecinają i na każdej z nich wybrano pewien punkt (tj D i E). Skonstruować trójkąt ABC, którego dwusieczne to AE i DC leża na danych prostych, E lezy na BC, zaś D leży na AB
b* Wykazać, że jesli przy tym kąt CDE ma miare \(\displaystyle{ 30^o}\) to jeden z kątów trójkąta ABC jest równy \(\displaystyle{ 60^o}\) lub \(\displaystyle{ 120^o}\)
1029 Sposród \(\displaystyle{ n}\) wyrazów ciągu arytmetycznego udało się wybrać \(\displaystyle{ k}\) wyrazów, które tworzą rosnący ciąg geometryczny. Wykaż, że \(\displaystyle{ n \geq 2^{k-1}}\)

Zadanie nr =?
Niech \(\displaystyle{ a_1, . . . , a_m}\) będą różnymi względnie pierwszymi ze sobą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że liczby \(\displaystyle{ a_1 + n \ \ a_2 + n \ \ , . . . , \ \ a_m + n}\) są ze sobą względnie pierwsze.

mol_ksiazkowy pisze: 977. Czy mozna za pomoca operacji mnożenia, dodawania i odejmowania otrzymać h(x)=x, z wielomianów p i q, jesli
a \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x, \ g(x)=x^2+2}\)
b \(\displaystyle{ f(x)=2x^2+x, \ g(x)=2x}\)

Nie.
Załóżmy, że się da. Wtedy:
a)
Dla \(\displaystyle{ x=2}\) mamy: \(\displaystyle{ f(x)=g(x)=6}\), oraz \(\displaystyle{ h(x)=2}\), lecz ponieważ wielomian h powstał poprzez dodawanie, odejmowanie liczby 6, to h(x) powinno być podzielne przez 6, a nie jest. Sprzeczność.
b)
Dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) wartości funkcji f,g są całkowite, a h nie. Znowu sprzeczność, ponieważ dodając odejmując i mnożąc liczby całkowite nie otrzymamy liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

mol_ksiazkowy pisze: 1007 Wykaż, że dwa trójkaty mające długości boków \(\displaystyle{ a, b, c}\) i \(\displaystyle{ a_1, b_1, c_1}\) są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ \sqrt{aa_1}+ \sqrt{bb_1}+ \sqrt{cc_1}= \sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}}\)

Załóżmy, że zachodzi to równanie.
Podnosimy równanie do kwadratu. Skracamy co się da i dostajemy:
\(\displaystyle{ a(b_{1} + c_{1}) + b(a_{1}+c_{1}) + c(a_{1}+b_{1}) = 2( \sqrt{aa_{1}bb_{1}} + \sqrt{cc_{1}bb_{1}} + \sqrt{aa_{1}cc_{1}} )}\)
Na mocy AM-GM dostajemy:
\(\displaystyle{ ab_{1} + ba_{1} \geqslant 2 \sqrt{aa_{1}bb_{1}}}\)
\(\displaystyle{ cb_{1} + bc_{1} \geqslant 2 \sqrt{cc_{1}bb_{1}}}\)
\(\displaystyle{ ac_{1} + ca_{1} \geqslant 2 \sqrt{aa_{1}cc_{1}}}\)
Sumując mamy:
\(\displaystyle{ a(b_{1} + c_{1}) + b(a_{1}+c_{1}) + c(a_{1}+b_{1}) \geqslant 2( \sqrt{aa_{1}bb_{1}} + \sqrt{cc_{1}bb_{1}} + \sqrt{aa_{1}cc_{1}} )}\)
Równość zachodzi jeśli:
\(\displaystyle{ ab_{1} = ba_{1}}\)
\(\displaystyle{ cb_{1} = bc_{1}}\)
\(\displaystyle{ ac_{1} = ca_{1}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}}\).
Zatem trójkąty są podobne.
W drugą stronę dowód praktycznie taki sam.

mol_ksiazkowy pisze:986 Wykaż, ze dla dowolnych a, b >0 zachodzi \(\displaystyle{ 2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b} q 5\sqrt[5]{ab}}\)

Z AM-GM
\(\displaystyle{ 2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b} = \sqrt{a} + \sqrt{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b} +\sqrt[3]{b} q 5\sqrt[5]{ab}}\)

Co do nierówności z Kwanta to polecam tego linka:

Sam tam napisałem parę rzeczy

oke, jak idzie o zad 1003, to wypisane trzy iloczyny to sa równe \(\displaystyle{ AB*AC*BC * |cos \cos \beta \cos \gamma|}\).
A czy mozna inaczej?!

Zadanie 958 było na IMO 1985 (zadanie 3). Brakuje założenia o tym, że ciąg \(\displaystyle{ (a_i)}\) jest rosnący. Rozwiązanie można znaleźć np. pod poniższym linkiem; mojego rozwiązania nie chce mi się szkicować.

Kwant, było to pismo jakie ukazywało juz jakis czas temu, po ros oryginalnie w skrocie "Nauczno popularnyj mat-fiz zurnal" i było nieco podobne do Delty.

Kvant wydawany jest w dalszym ciągu. Chętni (znający język rosyjski) mogą znaleźć to czasopismo tutaj:

Zostanę zapewne uznany za archeologa...
-- 27 gru 2015, o 23:59 --

999* Wykaż, ze dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, ..., a_n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1+a_2 }+ ... + \frac{n}{a_1+...+a_n} \leq 4 (\frac{1}{a_1} + ...+ \frac{1}{a_n} )}\)
Wykazać, że stałą 4 po prawej stronie tej nierówności:
a) można zamienić na 2
b) nie można zamienić na liczbę mniejsza od 2

1010. Ciąg \(\displaystyle{ r_1, r_2, r_3, ....}\) jest określony: \(\displaystyle{ r_1=2, \ r_{n+1}=1+ r_1....r_n}\) (tj. \(\displaystyle{ r_2=3, \ r_3=7, r_4=43}\). itd)
a) Wykaż, ze dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) jest szacowanie \(\displaystyle{ \frac{1}{r_1}+...+\frac{1}{r_n} < 1}\)
b) Przypuśćmy, że suma odwrotności pewnych \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych jest mniejsza niż 1. Wykaż, że wtedy suma ta nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{r_1}+...+\frac{1}{r_n}}\).

Już nie ma możliwości głównego wątku, ale poprawiona wersja zadań 99 i 1010 jest taka jak powyżej, gdyż były błędnie przedstawione (co zauważył a4karo). Być moga ewentualnie inne błędy ale mozna je poprawić.
Na razie są te.

Zostanę zapewne uznany za archeologa...

ale ciekawe wykopalisko...

Kvant wydawany jest w dalszym ciągu. Chętni (znający język rosyjski) mogą znaleźć to czasopismo tutaj:

chyba błedny link...
Jesli ktos ma inne zadania archiwalne z Kwanta, to można tu zamiescić...

999 ( Rosja )
1010
a) Indukcyjnie \(\displaystyle{ r_{n+1} \ge 2^{n+1}}\), a pózniej ograniczamy ten ciąg przez sumę przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) odwrotności dwójki, która będzie wynosić \(\displaystyle{ 1}\).
b) Niekoniecznie rozumiem, \(\displaystyle{ \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} < 0.5}\), a przykładowo \(\displaystyle{ 1 > \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} > 0.5 > \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}}\)

Tu jest działający link do Kvanta:

967 -- 28 gru 2015, o 19:31 --

976

987.

982.

1009.

I jeszcze:
Zadanie 1025
Przez punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) będące przecięciami przedłużeń boków czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) narysowano proste (jedną przez każdy z nich) które podzieliły go na cztery trójkąty.
Udowodnić, że jeśli w dwa z tych trójkątów nie mających wspólnego boku można wpisać okręgi, to także i w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg.