Matematyka.pl

Witam Panowie prosiłabym o pomoc z takim zadaniem:

Zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{+\inf}^{n=1} sin( \frac{1}{ \sqrt{n} } ) tg ( \frac{1}{ \sqrt{n} } )}\)

z góry dziękuje za pomoc :*

Kryterium asymptotyczne z szeregiem harmonicznym.

że co proszę?

Kryterium ilorazowe:

przepraszam, wiem, będziesz się złościć, ale czy mógłbyś ten pierwszy przykład zrobić mi na obrazkach (tex), żebym poźniej mogła stosować ten schemat do innych zadać, bardzo proszę :*

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} = \frac{\sin{\frac{1}{\sqrt{n}}}\tan{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}}=\frac{\sin{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\cdot \frac{\sin{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}}\cdot \frac{1}{\cos{\frac{1}{\sqrt{n}}}}}\)

trzeba tylko policzyć granicę takiego czegoś

spajder, dopiero ostatni napis jest poprawny (tzn. przedstawia to, o czym mówiłem, a dwa pierwsze nijak się do tego mają; domyślam się, że to jakaś literówka).

dziękuje chłopaki za pomoc :* ale mam ostanią prośbę czy mogłabym prosić o napisanie tego tak jak ma być po widzę, że są rozbieżności w waszych metodach.... całusy :*

Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{a_{n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to } \frac{sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \frac{sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \frac{1}{cos \frac{1}{\sqrt{n}}} = \ldots}\)
Ta granica jest skończona, zatem badany szereg jest tego samego typu, co szereg harmoniczny.

czyli szereg jest rozbieżny ?>

Tak chyba też można:

Dobieramy pomocniczy szereg rozbieżny: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}} \tan{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}} \tan{\frac{1}{\sqrt{n}}}}{\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{1}{\sqrt{n}}}= 1 = k}\)

\(\displaystyle{ 0 < k < }\) i szereg pomocniczy jest rozbieżny więc szereg jest rozbieżny.