Matematyka.pl

Znaleźć o ile to możliwe macierz diagonalną D oraz macierz C, takie że
\(\displaystyle{ A = C*D*C^{-1}}\) dla danej macierzy A:

\(\displaystyle{ A=\left[
\begin{array}{ c c c }
4 & 0 & 6 \\
2 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & -1
\end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ c c c } 4-\lambda & 0 & 6 \\ 2 & 1-\lambda & 4 \\ -1 & 0 & -1-\lambda \end{array} \right|=(1-\lambda)\left| \begin{array}{ c c } 4-\lambda & 6 \\ -1 & -1-\lambda \end{array} \right|=(1-\lambda)((4-\lambda)(-1-\lambda )+6)=(1-\lambda)(-4-4\lambda+\lambda+\lambda^{2}+6)=(1-\lambda)(\lambda^{2}-3\lambda+2)=(1-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda)=0 \lambda=1 \lambda=2}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \lambda=1}\) jest podwójną wartością własną, więc żeby macierz była diagonalizowalna, to rząd macierzy: \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c c } 3 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2\end{array} \right]}\) musiałby być równy 2, a nie jest. Więc nie istnieje taka macierz diagonalna \(\displaystyle{ D}\), aby zachodziła równość \(\displaystyle{ A = C*D*C^{-1}}\)

niestety gdzieś się pomyliłeś, w odpowiedzi jest tak:
\(\displaystyle{ C=\left[ \begin{array}{ c c c } -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1\end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ D=\left[ \begin{array}{ c c c } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array} \right]}\)

Faktycznie to rząd \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c c } 3 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2\end{array} \right]}\) ma być równy nie 2 tylko 3-2=1. I wtedy mamy:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c c } 3 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2\end{array} \right] ft[ \begin{array}{ c} x \\ y \\ z\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]}\)

Po rozwiązaniu tego układu równań (\(\displaystyle{ (x,y,z)=(-2t,s,t)}\))mamy wektory własne: \(\displaystyle{ v_{1}=(-2,0,1)}\) i \(\displaystyle{ v_{2}=(0,1,0)}\)

Dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) rozwiązujemy układ równań:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c c } 2 & 0 & 6 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & -3\end{array} \right] ft[ \begin{array}{ c} x \\ y \\ z\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ c} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]}\)

i dostajemy wektor \(\displaystyle{ v_{3}=(3,2,-1)}\).

Przyjmując że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą pewnego odwzorowania liniowego w bazach kanonicznych, to macierz \(\displaystyle{ D}\) będzie macierzą tego odwzorowania w bazie \(\displaystyle{ B=(v_{1},v_{2},v_{3})}\) i będzie miała wyrazy tylko na przekątnej równe odpowiednim wartością własnym dla kolejnych wektorów z bazy, \(\displaystyle{ C}\) macierzą przejścia z bazy kanonicznej do bazy \(\displaystyle{ B}\)

dr_grucha pisze:Faktycznie to rząd \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ c c c } 3 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & -2\end{array} \right]}\) ma być równy nie 2 tylko 3-2=1.

skąd to wiadomo?

Jeżeli rząd macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) będzie równy \(\displaystyle{ m-k}\), gdzie m to rozmiar macierzy, to równanie:

\(\displaystyle{ A X=0}\)

ma rozwiązanie zależne od \(\displaystyle{ k}\) parametrów, czyli przestrzeń rozwiązań jest \(\displaystyle{ k}\) wymiarowa i istnieje \(\displaystyle{ k}\) wektorów generujących tą przestrzeń.

Mam jeszcze pytanie, bo w tym zadaniu wyszły wektory własne: (0,1,0),(-2,0,1),(-3,-2,1) .Skąd mam wiedzieć w jakiej kolejności ułozyć je w macierz? W tym wypadku poprawne jest takie ułożenie:
\(\displaystyle{ C=\left[ \begin{array}{ c c c } -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -1\end{array} \right]}\)

Czy np. takie też będzie poprawne?
\(\displaystyle{ C=\left[ \begin{array}{ c c c } 0 & -2 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array} \right]}\)

kolejność jest obojętna