Matematyka.pl

Witam

czy móglbym posić o wskazówkę do tego zdania:

W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej wybrano bazę (\(\displaystyle{ e_{1}, e _{2}, e _{3}}\)) oraz wektory:

\(\displaystyle{ f_{1} =(z-1)e_{1}-e_{2}}\)
\(\displaystyle{ f_{2}=(1+i)e_{1}-ie_{2}-e_{3}}\)
\(\displaystyle{ f_{3}=ze_{2}-(1+3i)e_{3}}\)

Wyliczyć dla jakich wartości parametru z wektory (\(\displaystyle{ f_{1}, f _{2}, f _{3}}\)) równierz tworzą bazę i znaleśc w tych przypadkach rozkład wektorów starej bazy w nowej bazie

Żeby wektory \(\displaystyle{ (f_{1},f_{2},f_{3})}\) tworzyły bazę muszą być liniowo niezależne, a więc wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ P=\left|\begin{array}{ccc}z-1&1+i&z\\-1&-i&0\\0&-1&-1-3i\end{array}\right|}\)

musi być różny od zera i wtedy jest to macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ (e_{1},e_{2},e_{3})}\) do bazy \(\displaystyle{ (f_{1},f_{2},f_{3})}\). Żeby znaleźć współrzędne wektorów \(\displaystyle{ (e_{1},e_{2},e_{3})}\) w bazie \(\displaystyle{ (f_{1},f_{2},f_{3})}\), należy odwrócić tą macierz i kolumny będą stanowiły współrzędne odpowiednio pierwsza - współrzędne \(\displaystyle{ e_{1}}\), druga - \(\displaystyle{ e_{2}}\) i trzecia - \(\displaystyle{ e_{3}}\)

dzieki za pomoc

w 1 wierszy, 3 kolumna - powinno byc 0 ?

po rozwinieciu laplace względem pierwszej kolumny otrzymuje zespolone równanie kwadratowe. obliczam wartości

\(\displaystyle{ z _{1}= \frac{1-3i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z _{2}= \frac{7+i}{2}}\)

żeby teraz obliczyć macierz przejścia mam wybrać dowolne z (oprócz tych obliczonych) ?

Racja, powinno być \(\displaystyle{ 0}\) a w 2 wierszu trzecia kolumna \(\displaystyle{ z}\).

Tak, dowolne oprócz tych wyliczonych, czyli tych dla których wyznacznik się zeruje.