Matematyka.pl

wyznacz wszystkie rozwiazania rownan

\(\displaystyle{ z^{3}=2*z^{-}z}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=|z|^{3}i}\)
\(\displaystyle{ |z+1-2i|=|z-2i|}\)

zaznacz na plaszczyznie gaussa
\(\displaystyle{ Im(\frac{z}{z^{-}})=1}\)

wyznacz liczbe zespolona wiedzac ze dwa kolejne pierwiastki z tej liczby (pewnego stopnia wynosza
\(\displaystyle{ z_{k}=1+i}\)

\(\displaystyle{ z_{k+1}=-1+i}\)

A co to za problem podstawic i policzyc??
1.
\(\displaystyle{ z^3=2\overline{z}z\\
z=x+iy\\
(x+iy)^3=2(x-iy)(x+iy)\\
x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3=2(x^2+y^2)\\
x^3+3x^2y i-3xy^2-iy^3=2x^2+2y^2\\
x^3-3xy^2-2x^2-2y^2+i(3x^2y-y^3)=0\\
\begin{cases}
x^3-3xy^2-2x^2-2y^2=0\\
3x^2y-y^3=0\end{cases}\\
3x^2y-y^3=0\\
y(3x^2-y^2)=0\\
y(\sqrt{3}x-y)(\sqrt{3}x+y)=0\\
y=0\ \ \ \ y=\sqrt{3}x\ \ \ \ y=-\sqrt{3}x\\}\)

Dalej juz tylko obliczyc.

[ Dodano: 31 Sierpnia 2008, 18:13 ]
2.
\(\displaystyle{ \Im ft(\frac{z}{\overline{z}}\right)=1\ \ \ z\neq 0\\
\frac{z}{\overline{z}}=\frac{x+iy}{x-iy}=
\frac{(x+iy)^2}{(x-iy)(x+iy)}=
\frac{x^2+2xyi-y^2}{x^2+y^2}=
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2}\\
\Im\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\\
\frac{2xy}{x^2+y^2}=1\\
2xy=x^2+y^2\\
x^2-2xy+y^2=0\\
(x-y)^2=0\\
|x-y|=0\\}\)

A to juz latow narysowac Pozdrawiam.

dzieki, a wiesz jak zrobic 3 zadanie ?