Matematyka.pl

1. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego prawidłowego jest równe \(\displaystyle{ 27cm^2}\) . Krawędź jego podstawy ma długość 3 cm .
a) oblicz wysokość ściany bocznej
b) oblicz objętość
c) wyznacz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa wiedząc , że ma on 18 krawędzi i każda z nich jest równa 4 cm

2.
Jest to graniastosłup prawidłowy sześciokątny (\(\displaystyle{ 3n=18 \iff n=6}\))
Krawędź boczna jaki i krawędź podstawy są sobie równe i mają długość \(\displaystyle{ a=4}\), a więc:
\(\displaystyle{ V=P_pH \iff V=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} a \\
V=96\sqrt{3}\\
P_c=2\cdot P_p+ P_{pb} \iff P_c=2\cdot 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 6\cdot a^2 \\
P_c=48\sqrt{3}+96}\)

1.
a)\(\displaystyle{ P_c=a^2+2ah=27}\), gdzie \(\displaystyle{ a=3}\), czyli \(\displaystyle{ 27=9+2\cdot 3h \iff h=3}\)

b)\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2H}\). Wysokość z tw. Pitagorasa \(\displaystyle{ H=\sqrt{h^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\), zatem: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot 9 \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}}\)

c)\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{h}=\frac{1}{2} \iff =60^o}\)