Matematyka.pl

Dla liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) określamy jej część ułamkową \(\displaystyle{ \{x \}}\) przyjmując:
\(\displaystyle{ \{x \} = x - [x]}\), gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) - część całkowita \(\displaystyle{ x}\), czyli największa liczba całkowita nie większa od \(\displaystyle{ x}\)

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie ustaloną liczbą niewymierną. Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} = \{1, 2, \ldots \}}\) zbiór:
\(\displaystyle{ F = \{ \{n^{k} \alpha \} \ : \ n \in \mathbb{N} \}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ (0, 1)}\), tzn jeśli \(\displaystyle{ 0 < a < b < 1}\), to \(\displaystyle{ (a, b) \cap F \neq \emptyset}\).

Zadanie jest raczej trudne, więc jak nie będzie wychodzić, to proponuję zająć się szczególnymi przypadkami, każdy elementarny dowód dla jakiegokolwiek ustalonego \(\displaystyle{ k > 1}\) mile widziany.

Lemat:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon (0,1)}\) istnieje takie naturalne n, że \(\displaystyle{ \{\alpha n\} n^k\}}\) nie nalezaca do (a,b) i do niej dodawac te liczby postaci \(\displaystyle{ q\{b\cdot \}}\) (q,b - nat) gdzie \(\displaystyle{ \{b\alpha\}}\) jest odpowiednio male, tak aby \(\displaystyle{ n^k+qb}\) bylo k-tą potęgą liczby naturalnej... Intuicyjnie taka liczba bedzie istniec, ale innego pomyslu nie mam... Jak cos jest zle, albo niezrozumiale to piszcie, bo sam mam duze watpliwosci.

To był ten prosty przypadek:)
Twoje rozumowanie można skrócić, bo jak przyjmiemy w lemacie \(\displaystyle{ \varepsilon = b - a}\), to dostaniemy dla pewnych \(\displaystyle{ n_{1}, n_{2}\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \{n_{1}n_{2}\alpha\} = n_{1}\cdot \{n_{2}\alpha\}\in (a, b)}\).

No przypadek dla potęg liczb naturalnych można chyba rozważyć podobnie, przez dodawanie określonej ilości odpowiednio małych {an}, tak by otrzymać właśnie potęge l. naturalnej. Tylko, że to jest taki opis słowny, a nad poprawnym zapisem jeszcze pomyślę.

... 5&t=172978