Matematyka.pl

Punkt A(4,-10) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach y=3x-2 i y=-x+6. Wyznacz pozostałe wierzchołki równoległoboku.

\(\displaystyle{ A=(4;-10), B=(7;-1), C=(2;4), D=(-1;-5)}\)

hint: Z treści zadania wiemy, że dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach \(\displaystyle{ y=3x-2}\) i \(\displaystyle{ y=-x+6}\). Rozwiązując układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2=y \\ -x+6=y \end{cases}}\), wyliczysz współrzędne kolejnego wierzchołka równoległoboku. Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Spróbuj to wykorzystać (pokombinuj z prostymi równoległymi).

Nie mogę tego załapać. Wyliczyłam współrzędne punktu C,ale nie rozumiem skąd wziąć równania tych prostych. Wiem, że muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy, ale rozpisując układ dwóch równań, mam trzy niewiadome. :/

Cziki pisze:Nie mogę tego załapać. Wyliczyłam współrzędne punktu C.../

Mamy już współrzędne C(2, 4). Oznaczę sobie dane proste k:y=3x-2; l: y=-x+6,
Prawie wszystkie proste przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ A(x _{a},y _{a}}\) (za wyjątkiem prostej \(\displaystyle{ x=x _{a})}\) mają postać \(\displaystyle{ y-y _{a}=m(x-x _{a},}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) wspólczynnik kierunkowy. Niech B leży na prostej l. Jego współrzędne znajdziemy rozwiązując układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-x+6\\y+10=3(x-4).\end{cases}}\)
Analogicznie znajdujemy współrzędne pozostałego wierzchołka.

A skąd wiemy, że punkt B leży na prostej l?

Cziki pisze:A skąd wiemy, że punkt B leży na prostej l?

Skoro bok zawiera się w tej prostej l, to dwa wierzchołki równoległobolu muszą do tej prostej należeć. Jednym z nich jest C, pozostałym na pewno nie jest A, bo nie spełnia równania prostej l. Musimy znaleźć pozostały. Jak go nazwiemy, to już inna sprawa. Mój Poprzednik nazwał go B.
Analogicznie do prostej k należą dwa wierzhołki: C i jakiś inny.

Czyli jakbym przyjęła, że to wierzchołek D leży na prostej l., to też byłoby dobrze?

Cziki pisze:Czyli jakbym przyjęła, że to wierzchołek D leży na prostej l., to też byłoby dobrze?

Tak. Wtedy B należy do pozostałej prostej.
My mamy znaleźć współrzędne wierzchołków tego czworokata, a jak je nazwiemy, to nie gra roli. Wiemy tylko, że jeden z nich nazywa się A. Pozostałe mogą być G(órny), L(ewy), P(rawy) itd. Im (wierzchołkom) jest (chyba?) to obojętne. Często nie jest to obojętne nauczycielom, którzy wymagają, by były to kolejne litery abecadła - bo to podobno estetyczniej wygląda.. Wtedy tym, którzy preferują "zwrot" zgodny z ruchem wskazówek zegara byłby to wierzchołek D,

Serdecznie dziękuję za pomoc . Zrobiłam sobie rysunek w układzie współrzędnych i wreszcie to zobaczyłam.