Matematyka.pl

Jak rozwiązać takie równanie różniczkowe cząstkowe oraz sprawdzić poprawność rozwiązania

\(\displaystyle{ \frac{x^2 +1}{2x} \frac{dz}{dx}+ y^2 \frac{dz}{dy} = y^3 \sin{y}}\)

Będę bardzo wdzięczny za rozwiązanie tego przykładu, z góry dziękuję za pomoc.

Należy pamiętać, że takie równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Np. w przypadku gdy \(\displaystyle{ \tfrac{\partial z}{\partial x} \equiv 0}\) równanie sprowadza się do \(\displaystyle{ \tfrac{\partial z}{\partial y} = y \sin y \iff z(x,y) = \sin y - y \cos y + C}\).
Ale może być też rozwiązaniem taka funkcja, że

\(\displaystyle{ \frac{x^2 + 1}{2x} \, \, \frac{\partial z}{\partial x} \equiv 1}\)

czyli

\(\displaystyle{ z(x,y) = C_1 + \ln ft|1+x^2\right|+\frac{1}{y}+C_2 -y \cos y+ \sin y}\)

etc.