Matematyka.pl

Mam wykazać że jeżeli liczba naturalna p nie jest kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ sqrt{p}}\) jest liczbą niewymierną.

I przy okazji jak wykazać że liczba \(\displaystyle{ sqrt{n(n+1)}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n N}\) także jest niewymirna. Jeżeli będę miał to pierwsze zagadnienie wykazane to wtedy wystarczy wykazać że nie istnieją dwie kolejne liczby naturalne które są kwadratami liczb naturalnych, ale tego też nie wiem, jak ładnie i profesjonalnie zapisać.

2) Załóżmy, że \(\displaystyle{ k=a^2}\) oraz \(\displaystyle{ k+1=b^2}\).

\(\displaystyle{ k+1-k=1=b^2-a^2=(a+b)(b-a)}\).

Rozwiązując stosowny układ dostaniesz, że jedynymi kolejnymi kwadratami są liczby: 0, 1.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Jeśli chodzi o pierwsze to dowód niewprost. Przyjmujesz, że sqrt(p) = a/b, gdzie a i b należą do C i b różne od zera. Podnosisz stronami do kwadratu i mnożysz przez mianownik, otrzymując p*b*b = a*a i teraz zauważasz, że czynnik p występuje po lewej stronie nieparzystą liczbę razy a po prawej parzystą (0 też jest parzyste ).
Jeśli chodzi o drugie, to wpierw można by założyć, że n bądź n plus jeden jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Wtedy druga z tych liczb też musiałaby być kwadratem, co jest możliwe tylko dla n=0 [(n+1)^2 - n^2 = 2n+1]. Widzimy więc od razu, że poza zerem i jedynką, nie ma innych liczb naturalnych kolejnych, które są kwadratami. Teraz więc pozostaje założyć, że nie są kwadratami. I jakoś dalej nie mam pomysłu. Ponadto możesz sobie jeszcze dowieść, że gdy jedna z nich jest liczbą pierwszą, to to też prowadzi do sprzeczności. Problemem pozostaje tylko dowieść, że nie ma dwóch kolejnych liczb naturalnych, które mogą zdziałać takie coś: 2*18 = 36 = 6^2 .