ekstremum warunkowe

[badfroger]

wyznaczyc ekstrema warunkowe funkcji f: \(\displaystyle{ R^3 R}\) danej wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2}\)
przy warunku
\(\displaystyle{ g(x,y,z)= \frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{9}+z^2=1}\)

Z TYM ze prawidlowo i podobno szybko robi sie to przechodzac na poczatku na ekstremum funkcji jednej zmiennej podstawiajac chyba cos za \(\displaystyle{ z}\)

Moglby mi ktos napisac o co chodzi?

[Qń]

Bez mnożników Lagrange'a można tak:

Z warunku wyznaczamy, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=9(1-z^2)}\). Najpierw zauważamy, że znaczy to w szczególności, że \(\displaystyle{ z^2 \leq 1}\), a następnie wstawiamy to do wzoru funkcji:
\(\displaystyle{ 9(1-z^2)+z^2=9-8z^2 = h(z)}\)
Teraz mamy już funkcję jednej zmiennej i widać, że w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) dla \(\displaystyle{ z=1}\) i\(\displaystyle{ z=-1}\) ma ona minimum, a dla \(\displaystyle{ z=0}\) maksimum.

Ostatecznie więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma minima w punktach \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,-1)}\), a maksimum w punktach postaci \(\displaystyle{ (x,y,0)}\), gdzie \(\displaystyle{ x^2+y^2=9}\).

Q.

[badfroger]

yyy a mozna to troszke jasniej i krok po kroku?
zwazywszy na to ze jeszcze sie dobrze nie nauczylem obliczac ekstremum funkcji warunkowej jednej zmiennej:/

[miki999]

Postaram się to rozwiązać w (może) bardziej zrozumiały sposób:

Z warunku mamy:
\(\displaystyle{ z^{2}=1- \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{9}}\)

Podstawiamy do naszego równania i mamy już tylko 2 zmienne:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}+y^{2}+1- \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{9}= \frac{8}{9}x^{2}+\frac{8}{9}y^{2} +1}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{16}{9}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{16}{9}y}\)

\(\displaystyle{ \frac{16}{9}x=0\ \ \ \wedge \ \ \frac{16}{9}y =0 \Leftrightarrow x=0\ \wedge \ y=0}\)

Czyli ten pkt. jest podejrzane o istnienie ekstremum:

\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{16}{9}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y \partial x}= 0}\)

\(\displaystyle{ det \left|\begin{array}{cc} \frac{16}{9} &0\\0& \frac{16}{9} \end{array}\right|>0}\)

Zatem dla x=0 i y=0 istnieje ekstremum (minimum, bo 1. element macierzy jest dodatni)

i podstawiamy te wartości do wyrażenia \(\displaystyle{ z^{2}=1- \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{9}}\)

I mamy dwa rozwiązania (pkt.), które podał Qń.

[Qń]

Twoje rozwiązanie miki nie uwzględnia maksimów, moje zresztą wydaje mi się prostsze. Natomiast żeby cokolwiek do niego dopowiedzieć, musiałbym najpierw wiedzieć, w którym miejscu pojawia się niejasność.

Q.

[badfroger]

czy zatem podstawiajac ta zmienna, dzieki ktorej wychodzi nam funkcja jednej zmiennej, mozemy to rozwiazywac identycznie jak obliczanie ekstrema lokalnego?

[ Dodano: 25 Sierpnia 2008, 21:49 ]

Twoje rozwiązanie miki nie uwzględnia maksimów

no wlasnie miki mozesz jeszcze napisac jak dowiedziec sie jakie sa te ekstema?