Matematyka.pl

1. udowodnij, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci \(\displaystyle{ 6n+1}\) lub \(\displaystyle{ 6n+5}\)
b) czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe

2. udowodnij, że kwadrat każdej l. naturalnej jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\) albo \(\displaystyle{ 3k+1}\)

2. Każda liczba naturalna jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\), \(\displaystyle{ 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 3k-1}\). Podnieś to do kwadratu i ...

Ad 1
Liczba musi być nieparzysta, co daje liczby postaci \(\displaystyle{ 6n+1,\ 6n+3,\ 6n+5}\), z czego druga możliwość odpada, ponieważ jest podzielna przez 3.
Twierdzenie odwrotne oczywiście nie jest prawdziwe, np.: \(\displaystyle{ 6\cdot 4+1}\).

Ad 2
Sprawdź reszty z dzielenia przez 3 dla wszystkich trzech przypadków: \(\displaystyle{ 3a+1,\ 3a+2,\ 3a\ (a\in\mathbb{Z})}\)

1. Każda liczba pierwsza jest nieparzysta i niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), zatem z postaci
\(\displaystyle{ 6k}\), \(\displaystyle{ 6k+1}\), \(\displaystyle{ 6k+2}\), \(\displaystyle{ 6k+3}\), \(\displaystyle{ 6k+4}\), \(\displaystyle{ 6k+5}\)
wyrzucamy \(\displaystyle{ 6k}\), \(\displaystyle{ 6k+2}\), \(\displaystyle{ 6k+4}\) bo są parzyste
i \(\displaystyle{ 6k}\), \(\displaystyle{ 6k+3}\) bo są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Zostają więc:
\(\displaystyle{ 6k+1}\) i \(\displaystyle{ 6k+5}\).

odwrotne nie jest prawdziwe.

dzięki. co do 2 to wystarczy chyba podnieść 3 kolejne l. do kwadratu i wykaza ć przez co się dzielą.