Matematyka.pl

cięciwa okręgu ma długość 15 cm, wysokość od środka cięciwy do okręgu wynosi 1 cm. jaki jest promień okręgu?

Kiedyś wyprowadziłem na to wzór jak na fizyce było nudno i oto on (tylko bez rysunku, ale chyba da rade się domyśleć ):
l - długość cięciwy
h - odległość środka od okręgu
\(\displaystyle{ (2 \arctan \frac{2h}{l})}\) - połowa kąta środkowego opartego na danej cięciwie

\(\displaystyle{ ctg (2 \arctan \frac{2h}{l}) = \frac{r-h}{ \frac{l}{2} } }\)

\(\displaystyle{ r= \frac{l ctg (2 arc \ tg \frac{2h}{l}) + 2h }{2} = \frac{l (ctg(arc \ tg \frac{2h}{l}) - tg(arc \ tg \frac{2h}{l})) }{4} + h = \frac{l \frac{1}{tg (arc \ tg \frac{2h}{l}))}-2h }{4} +h= \frac{l^{2}}{8h} - \frac{h}{2} + h = \frac{l^{2} - 4h^{2} + 8h^{2}}{8h} = \frac{l^{2} + 4h^{2}}{8h}}\)

Łatwy wzorek nawet, a czasem może się przydać np. żeby obliczyć promień krzywizny krzywej linijki (dlatego właśnie wyprowadzałem ten wzór na fizyce, bo taka linijka na biurku leżała )

Poproszę o rysunek albo dopracowanie takich rzeczy jak:

danio pisze:\(\displaystyle{ h}\) - odległość środka od okręgu
\(\displaystyle{ (2 \arctan \frac{2h}{l})}\) - połowa kąta środkowego opartego na danej cięciwie

bo tu są chyba jakieś nieścisłości...

h - odległość środka CIĘCIWY od okręgu (jest o tym mowa w zadaniu )
Co do kąta:
1)budujesz kąt środkowy na danej cięciwie i prowadzisz jego dwusieczną, która przejdzie przez podaną w zadaniu wysokość (na rysunku w rozwiązaniu xbw jest to kąt naprzeciw dłuższej przyprostokątnej w narysowanym trójkącie prostokątnym)

Można ten wzór wyprowadzic na drugi sposób (bardzo banalny, bo opiera się tylko na tw. Pitagorasa), dla tych, którym się mniej nudzi na fizyce, albo nie znają trygonometrii:

\(\displaystyle{ (r-h)}\) - odległość środka cięciwy od środka okręgu (odcinek prostopadły do cięciwy)

\(\displaystyle{ (r-h)^{2}+ \frac{l}{2} ^{2} = r^{2} r^{2} - 2rh + h^{2} + \frac{l^{2}}{4} = r^{2} 2rh = h^{2} + \frac{l^{2}}{4} r= \frac{ l^{2}+4h^{2}}{8h}}\)

Sposób taki sam jak w rozwiązaniu xbw, tylko tyle, że mamy wzór na każdą okazję

Rozwiązanie trygonometryczne jest dla mnie w pełni zrozumiałe. Chciałem, żebyś tylko poprawił to, co zaznaczyłem w poprzednim poście. \(\displaystyle{ 2}\) przed arkusem i opis \(\displaystyle{ h}\), bo jest nieścisły. Tyle.

PS
Do jakiej szkoły chodziłeś i do jakiej się teraz wybierasz?

Oj freju,
my się znamy przecież (danio - pseudonim od Daniel) , po prostu jeszcze 17 nie skończyłem, a chodzę do IV LO, teraz pójdę do IID (klasa p. prof. Pawłowskiego).

Aaa, to wszystko wyjaśnia To w takim razie pozdrawiam