Punkty w sześcianie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 32 razy

Punkty w sześcianie

Post autor: patry93 » 24 sie 2008, o 12:45

Witam :)

Wewnątrz sześcianu o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\) obrano \(\displaystyle{ 1997}\) punktów. Udowodnij, że co najmniej \(\displaystyle{ 10}\) spośród nich znajduje się wewnątrz pewnej kuli o promieniu \(\displaystyle{ 0,15}\).

Robiłem jakoś tak:
\(\displaystyle{ V_{sz} = 1^{3} = 1}\)
Teraz dzielimy objętość sześcianu na 1997, aby dowiedzieć się ile przestrzeni znajduje się co najmniej między sąsiednimi punktami
\(\displaystyle{ V_{p} = \frac{1}{1997} \approx 0,0005}\)
Objętość ta, to objętość małego sześcianika. Wyliczam jego krawędź:
\(\displaystyle{ a_{p} =\sqrt[3]{0,0005} \approx 0,079}\)
Objętość kuli o którym mówi treść:
\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3} \pi (0,15)^{3} \approx 0,014}\)
\(\displaystyle{ 10 V_{p} = 0,005}\)
\(\displaystyle{ V_{k} > V_{p}}\)
Czyli źle... bo powinno być odwrotnie :/

Jest jakiś inny, "elegancki" sposób na tego typu zadania?

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

frej

Punkty w sześcianie

Post autor: frej » 24 sie 2008, o 13:16

Kulę można opisać łatwo na sześcianie, w którym \(\displaystyle{ R=\frac{a\sqrt{3}}{2}=0,15}\), stąd taki sześcian musi mieć bok
\(\displaystyle{ a=\frac{0,3}{\sqrt{3}}=0,1 \sqrt{3} 0,173}\).
Jak bok będzie mniejszy, to będzie dobrze, więc weźmy mały sześcian o długości krawędzi równej \(\displaystyle{ \frac{1}{6} 216\cdot 9}\).

ODPOWIEDZ