Matematyka.pl

Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (f_{1},f_{2},f_{3})}\), gdzie
\(\displaystyle{ f_{1} : t \mapsto 2}\)
\(\displaystyle{ f_{2} : t \mapsto t + 3}\)
\(\displaystyle{ f_{3} : t \mapsto 2t^{2} + 1}\)
tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ (\mathbb R[t]_{2},\mathbb R,+,\cdot)}\)

Rzeczona przestrzeń jest wymiaru trzy (bo jej bazą jest na przykład układ wektorów \(\displaystyle{ \{ 1, x, x^2\}}\)), a zatem dowolne trzy liniowo niezależne wektory tworzą jej bazę. Wystarczy więc z definicji sprawdzić, że rzeczone trzy wielomiany są liniowo niezależne:

\(\displaystyle{ a\cdot 2 + b\cdot (t+3) +c (2t^2+1) = 0 2ct^2 + bt + (2a+3b+c) = 0 \\ 2c=b=2a+2b+c=0 a=b=c=0}\)

co oznacza właśnie liniową niezależność.

Q.

Czyli nie taki diabeł straszny... Myślałem, że trzeba szukać pierwiastków tego wielomianu. Dziękuję za pomoc.