Turniej, mecze...

[patry93]

Witam.

W pewnym turnieju wzięło udział \(\displaystyle{ n}\) drużyn (\(\displaystyle{ n > 2}\)). Każda drużyna rozegrała z każdą dokładnie jeden mecz i nie zanotowano remisów. Udowodnij, że jeżeli pewne dwie drużyny wygrały tę samą ilość meczów, to znalazły się się takie trzy drużyny \(\displaystyle{ A, B, C}\), że drużyna \(\displaystyle{ A}\) wygrała z drużyną \(\displaystyle{ B}\), drużyna \(\displaystyle{ B}\) wygrała z drużyną \(\displaystyle{ C}\), drużyna \(\displaystyle{ C}\) wygrała z drużyną \(\displaystyle{ A}\).

Hm...

Oznaczyłem te dwie drużyny, które wygrały taką samą ilość meczy jako \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).
Turniej polega na grze każdy z każdym, więc drużyna \(\displaystyle{ X}\) grała z drużyną \(\displaystyle{ Y}\) i nie było remisu, więc niech drużyna \(\displaystyle{ X}\) wygrała z drużyną \(\displaystyle{ Y}\).
Zatem aby obie drużyny miały tyle samo wygranych, to drużyna \(\displaystyle{ X}\) musiała z kimś przegrać i niech to będzie drużyna \(\displaystyle{ Q}\).
Tutaj już powoli zaczynam się gmatwać...
Podejrzewam, że drużyny \(\displaystyle{ A, B, C}\) w treści zadania to odpowiednio \(\displaystyle{ X, Y, Q}\) ale nie bardzo wiem jak to udowodnić... :/

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[frej]

Bez straty ogólności \(\displaystyle{ X}\) wygrał z \(\displaystyle{ Y}\). Skoro wygrali tyle samo meczów to istnieje taki \(\displaystyle{ Z}\), że \(\displaystyle{ Y}\) wygrał z \(\displaystyle{ Z}\) i \(\displaystyle{ X}\) nie wygrał z \(\displaystyle{ Z}\) ( bo inaczej \(\displaystyle{ Y}\) wygrałby mniej meczów ). A skoro
\(\displaystyle{ X}\) wygrał z \(\displaystyle{ Y}\), \(\displaystyle{ Y}\) wygrał z \(\displaystyle{ Z}\), \(\displaystyle{ X}\) nie wygrał z \(\displaystyle{ Z}\) i nie było remisu to \(\displaystyle{ Z}\) wygrał z \(\displaystyle{ X}\). Koniec

[patry93]

Bez straty ogólności

Proszę?

Kurde, można sobie dosłownie głowę złamać przez takie zadania
Ciężko to poukładać... czyli, że ta moja kolejność w pierwszym poście jest dobra, czy nie?

[frej]

e ta moja kolejność w pierwszym poście jest dobra, czy nie?

Tak, jest dobra.

Bez straty ogólności

Proszę?

Tzn. to co wybiorę nie wpłynie potem na poprawność dowodu. Chodzi o to, że równie dobrze mogę powiedzieć, że \(\displaystyle{ X}\) wygrał z \(\displaystyle{ Y}\) jak i \(\displaystyle{ Y}\) wygrał z \(\displaystyle{ X}\). Ty to tak napisałeś:

niech drużyna X wygrała z drużyną Y.

Zapamiętaj sobie tę formułkę. Często będziesz jej używał