Turniej, mecze...

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław

Turniej, mecze...

Post autor: patry93 » 23 sie 2008, o 16:52

Witam. W pewnym turnieju wzięło udział \(n\) drużyn (\(n > 2\)). Każda drużyna rozegrała z każdą dokładnie jeden mecz i nie zanotowano remisów. Udowodnij, że jeżeli pewne dwie drużyny wygrały tę samą ilość meczów, to znalazły się się takie trzy drużyny \(A, B, C\), że drużyna \(A\) wygrała z drużyną \(B\), drużyna \(B\) wygrała z drużyną \(C\), drużyna \(C\) wygrała z drużyną \(A\). Hm... Oznaczyłem te dwie drużyny, które wygrały taką samą ilość meczy jako \(X\) i \(Y\). Turniej polega na grze każdy z każdym, więc drużyna \(X\) grała z drużyną \(Y\) i nie było remisu, więc niech drużyna \(X\) wygrała z drużyną \(Y\). Zatem aby obie drużyny miały tyle samo wygranych, to drużyna \(X\) musiała z kimś przegrać i niech to będzie drużyna \(Q\). Tutaj już powoli zaczynam się gmatwać... Podejrzewam, że drużyny \(A, B, C\) w treści zadania to odpowiednio \(X, Y, Q\) ale nie bardzo wiem jak to udowodnić... :/ Z góry dziękuję za odpowiedzi.

frej

Turniej, mecze...

Post autor: frej » 23 sie 2008, o 16:58

Bez straty ogólności \(X\) wygrał z \(Y\). Skoro wygrali tyle samo meczów to istnieje taki \(Z\), że \(Y\) wygrał z \(Z\) i \(X\) nie wygrał z \(Z\) ( bo inaczej \(Y\) wygrałby mniej meczów ). A skoro \(X\) wygrał z \(Y\), \(Y\) wygrał z \(Z\), \(X\) nie wygrał z \(Z\) i nie było remisu to \(Z\) wygrał z \(X\). Koniec

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław

Turniej, mecze...

Post autor: patry93 » 23 sie 2008, o 17:15

Bez straty ogólności
Proszę? Kurde, można sobie dosłownie głowę złamać przez takie zadania Ciężko to poukładać... czyli, że ta moja kolejność w pierwszym poście jest dobra, czy nie?

frej

Turniej, mecze...

Post autor: frej » 23 sie 2008, o 17:21

e ta moja kolejność w pierwszym poście jest dobra, czy nie?
Tak, jest dobra.
Bez straty ogólności
Proszę?
Tzn. to co wybiorę nie wpłynie potem na poprawność dowodu. Chodzi o to, że równie dobrze mogę powiedzieć, że \(X\) wygrał z \(Y\) jak i \(Y\) wygrał z \(X\). Ty to tak napisałeś:
niech drużyna X wygrała z drużyną Y.
Zapamiętaj sobie tę formułkę. Często będziesz jej używał

ODPOWIEDZ