Matematyka.pl

Trójkąt ABC ma pole równe S. Utworzono nowy trójkąt A'B'C' w taki sposób, że :
\(\displaystyle{ A'=S _{B} (A) , B'=S _{C}(B) , C'=S _{A} (C)}\)
Oblicz pole trójkąta A'B'C'.

hint:
\(\displaystyle{ P_{\Delta ABC}=P_{\Delta CBA'}}\) (dlaczego?)

ale jak to, nie rozumiem??

Pola są równe, ponieważ \(\displaystyle{ AB = BA'}\), a te trójkąty mają wspólną wysokość opadającą na proste wyznaczone przez te boki (z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\))

Ale ja muszę obliczyć konkretnie ile wynosi pole tego trojkąta w zależności od S.
Znalazłam odpowiedz do tego zadania i wynosi 7S. Ale jak to policzyć??

Niech trójkąt ABC będzie trójkatem równobocznym o boku a
wówczas trójkąt A'B'C' też będzie równobocznym ale o boku b
wtedy z tw cosinusów masz tak
\(\displaystyle{ b^{2}=4a^{2}+a^{2}-4a^{2}cos120^{o}}\)
czyli tak masz
\(\displaystyle{ b^{2}=4a^{2}+a^{2}+2a^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ b^{2}=7a^{2}}\)

nio tak tyle ze to jest szczególny przypadek zakładający ze trójkat jest równoboczny, a jezeli nie jest??

Mamy równość pól następujących trójkątów:

\(\displaystyle{ ABC = CBA' = CA'B'}\)
\(\displaystyle{ ABC = ACB' = AB'C'}\)
\(\displaystyle{ ABC = ABC' = BC'A'}\)

Wszystkie równości wynikają z równych podstaw trójkątów i pokrywających się wysokości.

Z tych równości mamy: \(\displaystyle{ A'B'C'= ABC+CBA'+ACB'+ABC'+CA'B'+AB'C'+BC'A' = 7ABC}\)