Matematyka.pl

dwie calki potrojne:
1)

\(\displaystyle{ \int_{D} \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^2+y^2+z^2} } dxdydz}\)

gdzie \(\displaystyle{ D=(x,y,z) R^3:x^2+y^2+z^2 qslant 1}\)

2)

\(\displaystyle{ \int_{V}1dxdydz}\)

gdzie \(\displaystyle{ V=(x,y,z) R^3: x qslant 0, y qslant 0, z qslant 0, x+y+z qslant 1}\)

1) Z miejsca widac, ze trzeba zastosowac wspolrzedne sferyczne parametryzujac kule o srodku w (0,0,0) i promeniu 1. Czyli wstawaimy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\rho\cos\theta\cos\varphi\\
y=\rho\cos\theta\sin\varphi\\
z=\rho\sin\theta
\end{cases}\\
|J|=-\rho^2\cos\theta\\
\rho\in[0;1]\\
\theta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\mathcal{I}=
t\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi t\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \mbox{d}\theta t\limits_{0}^{1}(-\rho^2) \frac{\rho\cos\theta\cos\varphi+\rho\cos\theta\sin\varphi+\rho\sin\theta}{ \sqrt{(\rho\cos\theta\cos\varphi)^2+(\rho\cos\theta\sin\varphi)^2+(\rho\sin\theta)^2} } \mbox{d}\rho=
t\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi t\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \mbox{d}\theta t\limits_{0}^{1}(-\rho^2) \frac{\cos\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta}{ \sqrt{\cos^2\theta\cos^2\varphi+\cos^2\theta\sin^2\varphi+\sin^2\theta} } \mbox{d}\rho=
t\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi t\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \mbox{d}\theta t\limits_{0}^{1}(-\rho^2) (\cos\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta) \mbox{d}\rho=
-\int\limits_{0}^{2\pi} \mbox{d}\varphi t\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta (\cos\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi+\sin\theta)\mbox{d}\theta t\limits_{0}^{1} \rho^2 \mbox{d}\rho=
\ldots}\)

Teraz tylko policzyc taki twor


2) Bryla, ktora objetosc mamy policzyc, to ostroslup o wierzcholkach:
\(\displaystyle{ (x,y,z):\\
A=(0,0,0),\ \ B=(1,0,0),\ \ C=(0,1,0),\ \ D=(0,0,1)\\}\)

Trzeba teraz go ladnie opisac za pomoca danych nam wzorow oraz wiedzac, ze jedna ze wspolrzednych (x lub y lub z) musza byc w stalych granicach calkowania. Wezmy np. x:
\(\displaystyle{ V:\ \begin{cases}
0\leqslant x\leqslant 1\\
0\leqslant y\leqslant 1-x\\
0\leqslant z\leqslant 1-x-y\end{cases}}\)

Majac juz taki opis mozna zapisac to za pomoca calki, tj:
\(\displaystyle{ |V|=\int\limits_{0}^{1}\mbox{d}x t\limits_{0}^{1-x}\mbox{d}y t\limits_{0}^{1-x-y}\mbox{d}z=
t\limits_{0}^{1}\mbox{d}x t\limits_{0}^{1-x}(1-x-y)\mbox{d}y=\ldots}\)


Pozdrawiam.

tradycyjnie chcialbym spytac, skad sie wziely w tym I zadaniu te trzy przedzialy?skad wiemy ze to sa te a nie inne?

[ Dodano: 21 Sierpnia 2008, 19:44 ]
czy oby na pewno te 3 ostatnie linijki sa dobrze w 1 zad?

W pierwszym akurat to nic nadzwyczajnego, bo to standardowa parametryzacja bez jakichkolwiek zmian. Patrz: Tutaj masz dokladnie opisana kazda zmienna. Czyli jakbys chcial miec np. pol kuli polozona nad plaszczyzna OXY(\(\displaystyle{ z\geqslant 0}\)), to trzeba zmienic przedzial:
\(\displaystyle{ \theta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]}\)

A gdyby miala to byc polowka kuli polozona nad plaszczyzna OYZ (\(\displaystyle{ x\geqslant 0}\), to:
\(\displaystyle{ \varphi\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]}\)

Itd...

Pozdrawiam.

Co do 1), to nie wiem o ktorej 3 linijki ci chodzi, ale obliczenia jak dla mnie sa ok.

soku11 jesli masz ksiazke krysicki- wlodarski analiza II to na str 150 jest podobne zadanie 5.5 i tam sa inne przedzialy niz te co mi napisalles, moglbys mi to wytlumaczyc?

Bo soku11 korzysta z systemu "geograficznego", w krysickim z tego co pamiętam wszystko jadą z "matematycznego":
... atyczny.22

to moze macie jakies linki poczawszy od calek podwojnych a skonczywszy na krzywoliniowych gdzie bylo by napisane prostrzym jezykiem niz tym pisanym w krysickim?

czyli to co jest w tym zadaniu krysickiego mozna rozwiazac tak jak soku11 i przedzialy byly by rowniez takie same jak mial soku11

Ja np. sie uczylem z Krysickiego ;P Tylko nie pamietalem dokladnie jak wyglada jakobian, to sobie wygooglowalem ten geograficzny. Jednak inna parametryzacja nie powinna nic zmieniac w ostatecznym wyniku. Wlasnie po to jest jakobian, by dokladnie odwzorowac jeden uklad wspolrzednych na drugi. A jak widac jakobiany sa inne, wiec sa to zupelnie inne uklady. Mozesz stosowac zarowno ten 'geograficzny' jak i 'matematyczny' pamietajac o roznicach w jakobianie i oznaczeniu parametrow i powinno byc wszystko ok
A co do systemu tego matematycznego, to tam parametryzacja jest nieco inna. Wszystko jest ladnie opisane na wikipedii w linku co ci podalismy Pozdrawiam.

Moglby mi ktos jeszcze pomóc dokonczyc te zadania ? w zad.2 wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) jesli dobrze to OK, ale zad 1 nie wychodzi mi, Bylbym wdzieczny za rozpisanie do konca

Aha, przypomniało mi się - tam soku11 zapominasz, że \(\displaystyle{ |J|}\) to wartość bezwzględna jakobianu, czyli już bez tego minusa.