Matematyka.pl

1. Mamy czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Niech P,Q,R,S będą środkami odpowiednio boków AB,BC,CD,DA. Udowodnić, że proste przechodzące przez punkty P,Q,R,S i prostopadłe do przeciwległych boków przecinają się w jednym punkcie.
2. Niech ABCD będzie kwadratem, a P punktem leżącym w płaszczyźnie tego kwadratu (różnym od A,B,C,D). Udowodnić, że z odcinków PA,PB,PC,PD można zbudować czworokąt, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Miłego rozwiązywania

2.
Oznaczmy przez X,Y,Z,T odpowiednio środki odcinków AB,BC,CD,DA

Niech punkt A będzie punktem najbliżej położonym od P a Q będzie punktem symetrycznym do P względem prostej ZX (symetria względem YT, nie zmienia to toku rozumowania), wówczas QA=PB, QD=PC, czworokąt PAQD jest więc poszukiwanym czworokątem (gdyby był wklęsły, to robimy obraz punktu A względem prostej PQ). proste DA i PQ są prostopadłe, bo ZX || DA, a Q jest obrazem P względem prostej ZX, co należało udowodnić

Ładnie, ale jeszcze przypadek, gdy P jest w środku ABCD i jak leży na jednej z prostych zawierających jego boki (wtedy też wystarczy symetria względem PQ, ale warto to napisać).

[ Dodano: 28 Sierpnia 2008, 22:07 ]
1. Niech O bedzie srodkiem przeciecia przekatnych rownolegloboku PQRS. Wystarczy rozwazyc czworokat symetryczny do ABCD wzgledem O i nasze proste prostopadle przejda na symetralne bokow, ktore przecinaja sie w jednym punkcie z zalozenia

limes123 pisze:Ładnie, ale jeszcze przypadek, gdy P ... leży na jednej z prostych zawierających jego boki.

Mógłbyś dokładnie rozpisać ten przypadek? Bo pozostałe 2 idą z elementarnych przesunięć i symetrii, a tutaj nie.