Matematyka.pl

Jak rozwiązać poniższą nierówność (próbowałem ją rozwiązać ale wychodzi mi zły przedział):

\(\displaystyle{ x-1}\)

Po wyznaczeniu dziedziny nierówności rozważmy przypadki.
Jeśli \(\displaystyle{ x}\)

Lukasz1804 wkradł Ci się mały błąd \(\displaystyle{ (x-1)^2 [-2,frac{5}{2})}\)

Nie rozumiem tego:

lukasz1804 pisze:Po wyznaczeniu dziedziny nierówności rozważmy przypadki.
Jeśli \(\displaystyle{ x}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\in }\)

frej pisze:Jeśli \(\displaystyle{ x\in}\)

Źle do tego podchodzisz. Mamy rozwiązać zwykłą nierówność. W przedziale \(\displaystyle{ [-2,1)}\) zachodzi ona w logiczny sposób. Zajmijmy się przedziałem \(\displaystyle{ [1,3]}\). W tym przypadku obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy je podnieść do kwadratu, aby ułatwić sobie liczenie:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 (-1,\frac{5}{2})}\)
Uwzględniając przedział \(\displaystyle{ [1,3]}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ [1,3] cap (-1,frac{5}{2}) iff [1,frac{5}{2})}\).

Zatem ostateczny wynik to \(\displaystyle{ [-2,1) cup [1,frac{5}{2}) iff [-2,frac{5}{2})}\)

P.S

i dlaczego podnosimy tylko dodatnie do kwadratu

Rozważ taki przykład: \(\displaystyle{ -2}\)

Justka pisze: Zajmijmy się przedziałem \(\displaystyle{ [1,3]}\). W tym przypadku obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy je podnieść do kwadratu, aby ułatwić sobie liczenie:
\(\displaystyle{ (x-1)^2 (-1,\frac{5}{2})}\)
Uwzględniając przedział \(\displaystyle{ [1,3]}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ [1,3] cap (-1,frac{5}{2}) iff [1,frac{5}{2})}\).

Zatem ostateczny wynik to \(\displaystyle{ [-2,1] cup [1,frac{5}{2}) iff [-2,frac{5}{2})}\)

A co z \(\displaystyle{ \langle-2;1)}\)? Czemu zamieniasz na \(\displaystyle{ \langle-2;1\rangle}\)? I czemu wynik końcowy traktujemy jako sumę przedziałów a nie część wspólną (przecież nierówność ma być spełniona gdy (x-1)=0)?

Tak, racja źle przepisałam przedział (zwykła literówka, ale i tak wynik zostaje ten sam)

I czemu wynik końcowy traktujemy jako sumę przedziałów a nie część wspólną (przecież nierówność ma być spełniona gdy (x-1)=0)?

Hm...
I. dla założenia (x-1)0 mamy \(\displaystyle{ xin [1,frac{5}{2})}\)
Zatem liczba x spełnia nierówność, gdy należy do przedziału \(\displaystyle{ [-2,1)}\) lub do przedziału \(\displaystyle{ [1,frac{5}{2})}\), czyli rozwiązaniem jest ich suma, nie iloczyn.

Ale czemu wynik zostaje ten sam? Przecież {1} nie należy do jednego zbioru a do drugiego tak.

OK. Dziękuję wszystkim za pomoc. Chyba już wszystko się ułożyło. W razie czego będę pisał