Rozkład gamma
: 10 sie 2008, o 20:07
Rozkład gamma
\(\displaystyle{ X \sim \Gamma(k, \lambda)}\)
\(\displaystyle{ k > 0 \text{ - parametr kształtu}}\)
\(\displaystyle{ \lambda > 0 \hbox{ - parametr skali}}\)
I Podstawowe informacje
1. Gęstość prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)}x^{k-1} e^{-\lambda x} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)
2. Dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-\infty}^x f(u)du}\)
3. Wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=\frac{k}{\lambda}}\)
Dowód:
4. Wariancja
\(\displaystyle{ Var(X)=\frac{k}{\lambda^2}}\)
Dowód:
5. Funkcja charakterystyczna
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \left(1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-k}}\)
Dowód:
II Uwagi
1. Często spotykana jest odwrotna parametryzacja, tzn.:
\(\displaystyle{ [0, \infty) \ni \frac{1}{\beta} = \lambda \in [0, \infty)}\)
Wtedy w każdym z powyższych wzorów należy zamiast parametru wstawić jego odwrotność, np. gęstość będzie wyglądała następująco:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\lambda^k \cdot \Gamma(k)}x^{k-1} \exp \left \{-\frac{x}{\lambda} \right \} \cdot 1_{[0, \infty)}(x)}\)
2. Funkcja gamma
Postać funkcji gamma dla dodatniego argumentu rzeczywistego:
\(\displaystyle{ \Gamma(k) = \int_0^{\infty}x^{k-1}e^{-x} dx}\)