[MIX] Zestaw zadań z KMDO

[Sylwek]

Podczas przerabiania "Kółka matematycznego dla olimpijczyków" natknąłem się na kilka zadań, których nie umiem do końca rozkminić. Być może Wam się uda



1. Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace\to \mathbb{R}}\) spełniające warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}f(x)=x f(\frac{1}{x}) &\mbox{ dla wszystkich }x \neq 0 \\ f(x)+f(y)=f(x+y)+1 &\mbox{ dla wszystkich }x\neq 0, \ y\neq 0 \ \mbox{takich, ze }x+y\neq 0 \end{cases}}\)


2. Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\), różniczkowalne i spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\) równanie: \(\displaystyle{ 2y f'(x)=f(x+y)-f(x-y)}\).


3. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in (1,+\infty)}\) równanie: \(\displaystyle{ f(xy)=x f(y)+y f(x)}\).


4. Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{Q}}\) równanie: \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x) f(y) - f(xy)+1}\).


5. Wielomiany \(\displaystyle{ P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x)=x^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_1x+b_0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ (P(x))^2=(x^2-1)(Q(x))^2+1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ P'(x)=n Q(x)}\).


6. Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2} + \frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2} \geqslant \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}.}\)


7. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_i, \ y_i}\), \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\) (\(\displaystyle{ n \geqslant 2}\)) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{\prod_{i=1}^n (x_i+y_i)}{\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)} \geqslant \frac{\prod_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i} + \frac{\prod_{i=1}^n y_i}{\sum_{i=1}^n y_i}.}\)


8. W kuli o objętości 1 danych jest \(\displaystyle{ 11}\) różnych punktów. Wykaż, że istnieją dwie płaszczyzny zawierające środek tej kuli i wycinające z niej część o objętości \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) oraz nie zawierającej w swoim wnętrzu żadnego z wyróżnionych punktów.

[andkom]

4.
Wstawienie do wzoru x=y=0 daje nam f(0)=1
Niech a=f(1)-1. Mamy f(x+1)=f(x)f(1)-f(x)+1=af(x)+1.
\(\displaystyle{ f(0)=1\\
f(1)=a+1\\
f(2)=af(1)+1=a^2+a+1\\
f(3)=af(2)+1=a^3+a^2+a+1\\
f(4)=af(3)+1=a^4+a^3+a^2+a+1}\)
ale \(\displaystyle{ f(4)=f(2)f(2)-f(4)+1}\), czyli
\(\displaystyle{ 2a^4+2a^3+2a^2+2a+2=(a^2+a+1)^2+1\\
a^4=a^2}\)
Stąd a=0 lub a=1 lub a=-1.

Jeśli a=0, to f(x+1)=0f(x)+1=1, czyli f(x)=1 dla każdego x wymiernego.

Jeśli a=1, to f(x+1)=f(x)+1, a stąd f(x+k)=f(x)+k dla całkowitych k.
W szczególności f(k)=k+1.
Niech q>0 i p będą całkowite. Wtedy
\(\displaystyle{ f(\frac pq)+q=f(\frac pq+q)=f(\frac pq)(q+1)-(p+1)+1\\
p+q=qf(\frac pq)\\
f(\frac pq)=\frac pq+1}\)
Czyli f(x)=x+1

Jeśli a=-1, to f(x+1)=-f(x)+1 oraz f(x+2)=-(-f(x)+1)+1=f(x)
f(0)=1, f(1)=0, f(2)=1
\(\displaystyle{ f(\frac12)=f(\frac12+2)=f(\frac12)f(2)-f(1)+1\\
f(\frac12)=f(\frac12)-0+1}\)
Uzyskana sprzeczność dowodzi, że jednak nie może być a=-1.

Sprawdzenie, że znalezione funkcje f(x)=1 oraz f(x)=x+1 spełniają warunki zadania kończy rozwiązanie.


3.
Czy treść zadania na pewno jest dobrze napisana?
Czy nie ma jeszcze jakiegoś założenia (ciągłość/dodatnie wartości/...)?

[Sylwek]

3.
Czy treść zadania na pewno jest dobrze napisana?
Czy nie ma jeszcze jakiegoś założenia (ciągłość/dodatnie wartości/...)?

Treść jest OK (należy brać poprawkę na to, że w KMDO błędy pojawiają się dość często).

Dziękuję za fajne rozwiązanie 4.

W 1. łatwo dowieść, że \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) dla x wymiernych, ale nie wiem jak z tego przejść do wszystkich rzeczywistych (trzeba pewnie użyć pierwszego równania).

W 6. widać, że nierówność jest jednorodna, to jeśli potraktujemy: \(\displaystyle{ \frac{L}{P}=f(a,b,c)}\), to widać, że \(\displaystyle{ f(a,b,c)=f(ka,kb,kc)}\) - zatem założyłem \(\displaystyle{ c=min{a,b,c}}\) oraz podstawiłem \(\displaystyle{ c=1}\) i na pałę wymnożyłem - jakaś trefna ta nierówność, bo nawet po pozbyciu się jednej zmiennej nie da się ładnie zwinąć.

[andkom]

1.
\(\displaystyle{ f(2x)=2f(x)-1\\
f\left(\frac1{2x}\right)=\frac1{2x}\cdot f(2x)=\frac{2f(x)-1}{2x}\\
\frac{f(x)}x=f\left(\frac1x\right)=f\left(\frac1{2x}+\frac1{2x}\right)=2f\left(\frac1{2x}\right)-1=\frac{2f(x)-1}x-1\\
f(x)=2f(x)-1-x\\f(x)=x+1}\)


6.
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}
=\frac{14\cdot\frac{a^3}{b^2}+3\cdot\frac{b^3}{c^2}+2\cdot\frac{c^3}{a^2}}{19}
+\frac{2\cdot\frac{a^3}{b^2}+14\cdot\frac{b^3}{c^2}+3\cdot\frac{c^3}{a^2}}{19}
+\frac{3\cdot\frac{a^3}{b^2}+2\cdot\frac{b^3}{c^2}+14\cdot\frac{c^3}{a^2}}{19}
\geqslant(AM\geqslant GM)\geqslant\sqrt[19]{\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^{14}\cdot\left(\frac{b^3}{c^2}\right)^3\cdot\left(\frac{c^3}{a^2}\right)^2}
+\sqrt[19]{\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^2\cdot\left(\frac{b^3}{c^2}\right)^{14}\cdot\left(\frac{c^3}{a^2}\right)^3}
+\sqrt[19]{\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^3\cdot\left(\frac{b^3}{c^2}\right)^2\cdot\left(\frac{c^3}{a^2}\right)^{14}}
=\frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a}\)

5. było niedawno gdzieś na forum

2.
Dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb R}\) mamy
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{f(x+2)-f(x-2)}4=\frac{(f(x+2)-f(-x))-(f(x-2)-f(-x))}4
=\frac{(2-2x)f'(1)-(-2-2x)f'(-1)}4=\frac{(1-x)f'(1)+(1+x)f'(-1)}2}\)
Zatem, f' jest funkcją liniową. W takim razie f jest wielomianem stopnia co najwyżej 2. Ręczne sprawdzenie pokazuje, że istotnie, wszystkie funkcje postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c}\) spełniają podany w treści zadania warunek.

[mol_ksiazkowy]

ad 3 Nie zadamy ciaglosci ?! widac ze podzieli sie przez xy, i \(\displaystyle{ h(x) =\frac{f(x)}{x}}\) prowadzi (przy dodatkowych załozeniach) do \(\displaystyle{ f(x) =xlog(x)}\)

ad 5 tez gdzie widzailem, ale nie wiem gdzie....chyba w ktoryms mixie bylo..

[michalg]

hm... spróbuję pomóc w 7. Dla \(\displaystyle{ n=2}\) można by spróbować wszystko wymnożyć, poskracać i wtedy wykorzystać jakąś znaną nierówność. Postaram się pokazać prawdziwość nierówności dla \(\displaystyle{ n>2}\).
\(\displaystyle{ \prod (x_i + y_i) q \prod x_i + \prod y_i + \sum \frac{y_i}{x_i}\prod x_i + \sum \frac{x_i}{y_i}\prod y_i}\)
\(\displaystyle{ \sum \frac{x_i}{y_i} q \frac{\sum x_i}{\sum y_i}}\)
\(\displaystyle{ \prod x_i + \prod y_i + \frac{\sum y_i}{\sum x_i}\prod x_i + \frac{\sum x_i}{\sum y_i}\prod y_i = (\sum x_i + \sum y_i)(\frac{\prod x_i}{\sum x_i} + \frac{\prod y_i}{\sum y_i} )}\)

Mam nadzieje, że wszystko w porządku

[mol_ksiazkowy]

ad 8 Kula ma srodek O, Przecinamy ja na pol i bierzymy te polowke w ktorej jest 5 punktow (badz mniej). Potem jeszcze raz , i mamy "cwiartke " w ktorej sa tylko dwa punkty A i B , Kroimy te cwiartke plaszczyna OAB i bierzemy wiekszy kawałek.

[Sylwek]

Rozwiązania 1,2,6 bardzo eleganckie i elementarne , dziękuję


Co do 8. - ciekawy pomysł, ale: to nie są półpłaszczyzny, a w swoim rozumowaniu wykorzystujesz 3 półpłaszczyzny. Moim zdaniem chodzi o jedno z takich cięć: . Jak to teraz widzisz?
jednak to rozwiązanie jest raczej poprawne, po prostu treść była niedopracowana...


Co do 7. - niestety nie widzę


Co do 5. - było, ale nie było rozwiązania. Porównując stopnie lewej i prawej strony mamy, że: \(\displaystyle{ n=m+1}\), ale na tym się zatrzymałem . /tu były złe poszlaki, edytowane po uwadze Wasilewskiego/


Co do 3. - jeśli istnieje jakaś skomplikowana funkcja o konstrukcji wymagającej znajomości matematyki wyższej, to na pewno nie to było intencją autora zadania i ciągłość powinna być

[michalg]

Co do 7. - niestety nie widzę

Albo mi się wydaje, że "widzę"
Pierwsza nierówność bierze się z wymnożenia nawiasów po lewej stronie. Otrzymujemy pewną sumę iloczynów. Po prawej stronie mamy sumę tylko niektórych składników.

[Sylwek]

Aha, już czaję, rzeczywiście masz rację, dzięki za pomoc

[Wasilewski]

Sylwek, ten kontrprzykład do wielomianu to raczej nietrafiony, bo zapewne nie od parady współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1.

[Sylwek]

Hehe, faktycznie, zagapiłem się. W takim razie jeszcze trochę pokminię (próbowałem indukcją, ale że sprawdzenie mi nie wychodziło, to... ), dam znać o wynikach.

[max]

Co do 3. - jeśli istnieje jakaś skomplikowana funkcja o konstrukcji wymagającej znajomości matematyki wyższej, to na pewno nie to było intencją autora zadania i ciągłość powinna być

Jest ich nawet całkiem dużo
Kostrukcja nie wymaga znowuż tak dużo tej matematyki, wystarczy przeczytać kilka początkowych wykładów z algebry liniowej, żeby wiedzieć co to jest przestrzeń wektorowa i jej baza, że w każdej przestrzeni liniowej można znaleźć bazę, oraz co to jest funkcja liniowa i że funkcję liniową możemy zadać na bazie. Potem łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest przestrzenią wektorową nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) i nagle okazuje się, że jest 'bardzo dużo' 'dziwacznych' funkcji \(\displaystyle{ \alpha: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) tże \(\displaystyle{ \alpha(x + y) = \alpha(x) + \alpha(y)}\) (dziwacznych - tzn nie będących postaci \(\displaystyle{ x\mapsto cx}\) przy \(\displaystyle{ c\in \mathbb{R}}\), swoją drogą było to dosyć niedawno dokładniej opisane na forum). Jak już mamy takie cudo, to dla \(\displaystyle{ x\in (1, +\infty)}\) kładziemy \(\displaystyle{ f(x) = x\cdot\alpha(\ln x)}\) i takie cuś spełnia nasze równanie funkcyjne numer 3.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot\alpha(\ln x)}\)

Odpowiedź to: \(\displaystyle{ f(x)=a x \ln x}\), w każdym razie już wiem jak robić

dam znać o wynikach.

Niestety nie udało mi się ukończyć tego zadania

zostało: 5

[robin5hood]

5 Trzeba obliczyć pochodną \(\displaystyle{ (P(x))^2=(x^2-1)(Q(x))^2+1}\) , potem pomnożyć przez P(x) i potem podstawić za \(\displaystyle{ (P(x))^2=(x^2-1)(Q(x))^2+1}\)