Twierdzenie o różniczkowaniu pod znakiem całki
: 31 lip 2008, o 18:26
Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest określona i ciągła w prostokącie \(\displaystyle{ [a,b] \times [c,d]}\), a krzywe
Dowód:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \Delta I &=& \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x - \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y) \; \mbox d x \\
&=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x - \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y) \; \mbox d x + \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\alpha (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ && + \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\
&=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} \left( f(x,y + \Delta y) - f(x,y) \right) \; \mbox d x + \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\alpha (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ &&+ \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x\\
& = & \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} \left( f(x,y + \Delta y) - f(x,y) \right) \; \mbox d x + \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ && - \int_{\alpha (y)}^{\alpha (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x
\end{eqnarray*}}\)
Zapisując granicę ilorazu różnicowego i korzystając z twierdzenie Lagrange'a w dwóch ostatnich całkach, mamy
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta I - I}{\Delta y} &=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f_y' (x,y) \; \mbox d x \\ &+& \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\left[ \beta(y + \Delta y) - \beta (y) \right] f(\xi_1, y+\Delta y) - \left[ \alpha(y + \Delta y) - \alpha (y) \right] f(\xi_2, y+\Delta y)}{\Delta y}
\end{eqnarray*}}\)
Uwzględniając, że \(\displaystyle{ \Delta \to 0}\) oraz \(\displaystyle{ \xi_1 \to \beta (y)}\) i \(\displaystyle{ \xi_2 \to \alpha (y)}\) ostatecznie dowodzimy (*) \(\displaystyle{ \square}\)
\(\displaystyle{ x = \alpha (y), \quad x = \beta (y) \quad (c \leqslant y \leqslant d)}\)
są ciągłe i nie wychodzą poza ten prostokąt oraz, że ma w nim ciągłą pochodną \(\displaystyle{ f_y'(x,y)}\) i że istnieją pochodne \(\displaystyle{ \alpha ' (y)}\) i \(\displaystyle{ \beta ' (y)}\), to całka\(\displaystyle{ I(y) = \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y) \; \mbox d x}\)
będzie miała pochodną względem parametru, wyrażającą się wzorem\(\displaystyle{ I'(y) = \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f_y' (x,y) \; \mbox d x + \beta'(y) f(\beta (y), y) - \alpha'(y) f(\alpha (y),y) \quad (*)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \Delta I &=& \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x - \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y) \; \mbox d x \\
&=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x - \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f(x,y) \; \mbox d x + \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\alpha (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ && + \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\
&=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} \left( f(x,y + \Delta y) - f(x,y) \right) \; \mbox d x + \int_{\alpha (y + \Delta y)}^{\alpha (y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ &&+ \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x\\
& = & \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} \left( f(x,y + \Delta y) - f(x,y) \right) \; \mbox d x + \int_{\beta (y)}^{\beta (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x \\ && - \int_{\alpha (y)}^{\alpha (y + \Delta y)} f(x,y + \Delta y) \; \mbox d x
\end{eqnarray*}}\)
Zapisując granicę ilorazu różnicowego i korzystając z twierdzenie Lagrange'a w dwóch ostatnich całkach, mamy
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta I - I}{\Delta y} &=& \int_{\alpha (y)}^{\beta (y)} f_y' (x,y) \; \mbox d x \\ &+& \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\left[ \beta(y + \Delta y) - \beta (y) \right] f(\xi_1, y+\Delta y) - \left[ \alpha(y + \Delta y) - \alpha (y) \right] f(\xi_2, y+\Delta y)}{\Delta y}
\end{eqnarray*}}\)
Uwzględniając, że \(\displaystyle{ \Delta \to 0}\) oraz \(\displaystyle{ \xi_1 \to \beta (y)}\) i \(\displaystyle{ \xi_2 \to \alpha (y)}\) ostatecznie dowodzimy (*) \(\displaystyle{ \square}\)