Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n>1}\) liczba \(\displaystyle{ n^n-n^2+n-1}\) dzieli się przez liczbę \(\displaystyle{ (n-1)^2}\).

\(\displaystyle{ n^{n} - n - (n-1)^2 \equiv n^{n} - n (mod (n-1)^2 ) \\
n^{n} - n = n (n^{n-1} - 1)}\)
Teraz porzućmy n, bo ono raczej nam w tej podzielności nie pomoże:
\(\displaystyle{ n^{n-1} - 1 = (n-1)(\underbrace{1 + n + \ldots + n^{n-2}}_{n-1} )}\)
A jako, że:
\(\displaystyle{ n^{k} \equiv 1^{k} \equiv 1 (mod \ (n-1) )}\)
to nawias:
\(\displaystyle{ (\underbrace{1 + n + \ldots + n^{n-2}}_{n-1} ) \equiv \underbrace{1 + 1\ldots +1}_{n-1} \equiv (n-1) \equiv 0 (mod (n-1))}\)
Czyli nawias dzieli się przez n-1, (n-1) też dzieli się przez n-1 (takie moje spostrzeżenie ), stąd:
\(\displaystyle{ (n-1)^2 \mid n^{n} - n}\)
A w konsekwencji również podaną przez Ciebie liczbę.

Albo tak:

Rozważmy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=x^n-nx+n-1}\)
Mamy: \(\displaystyle{ W(1)=W'(1)=0}\), skąd wiemy, że jedynka jest podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu. Stąd:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)^2\cdot V(x)}\)
dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ V}\) o współczynnikach całkowitych. Po wstawieniu do tej równości \(\displaystyle{ x=n}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ n^n-n^2+n-1=(n-1)^2\cdot V(n)}\)
skąd od razu wynika żądana podzielność.

Q.

https://matematyka.pl/46284.htm , chyba ten sam .pdf przerabiasz

Dokładnie Fajne zadanka tam są

a co do za pdf?

Nie wiem czy to coś da, ale może oznaczyć n-1 przez m i próbować udowodnić podzielność całego przez \(\displaystyle{ m^2}\) (taki pomysł na podobne zadanie był w jednym z tomów OM).

Też da radę:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{m+1} {m+1 \choose i} m^{i} - m^2 - 2m - 1 + m +1 - 1 = \sum_{i=2}^{m+1} {m+1 \choose i} m^{i} - m^2 + (m+1) m - m = \sum_{i=2}^{m+1} {m+1 \choose i} m^{i}}\)

chris139 pisze:a co do za pdf?

pierwszy z Google po wpisaniu "kongruencje", tylko uważaj, bo bardzo dużo tam błędów