Matematyka.pl

Witam! Po krótkim czasie rozmyślania wpadł mi do głowy pewien pomysł, jak mozna udowodnić niewymierność liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) dowód wygląda tak:
Każde przybliżenie tej liczby da następujące wyniki:
\(\displaystyle{ 1,4^{2}=1,96}\)
\(\displaystyle{ 1,41^{2}=1,9881}\)
\(\displaystyle{ 1,414^{2}=1,999396}\)
\(\displaystyle{ 1,4142^{2}=1,9999616}\)
itd.
Jak widać kolejne wyniki będą miały na początku coraz więcej dziewiątek lecz w ten sposób tylko zbliżamy się do dwóch. Można zatem stwierdzić, że w nieskończoności osiągniemy liczbę 1,(9), która jak wiemy równa się 2. Jak myślicie dobre rozumowanie czy nie?

robomanus, taka indukcja przyrodnicza w stylu " widzimy, że jest coraz więcej dziewiątek " nie może być dowodem.

Było tysiące razy jak to udowodnić. A także:

frej pisze:taka indukcja przyrodnicza w stylu " widzimy, że jest coraz więcej dziewiątek " nie może być dowodem.

robomanus, wiesz jak to udowodnić?

Nawet gdyby jednak uściślić co znaczy, że "na początku jest coraz więcej dziewiątek" i wykazać to, to byłby to jedynie dowód na to, że ciąg \(\displaystyle{ a_n = \frac{[10^n x]}{10^n}}\) zbiega do \(\displaystyle{ x}\) (w tym wypadku dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}}\), ale to prawda dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)). Nie ma to żadnego związku z tym czy \(\displaystyle{ x}\) jest wymierny czy nie.

Q.

Można policzyć jaka jest szansa że po podniesieniu przybliżenia \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) do kwadratu na n-tym miejscu będzie dziewiątka. Albo spróbowac zauważyć pewną właściwość co do przyrostu dziewiątek i ją udowodnić. Lecz nie o to mi chodzi. Chciałbym tylko wiedzieć czy (zakładając że na początku będą te dziewiątki) moje rozumowanie jest właściwe.

Nie, rozumowanie nie jest właściwie - już zostało przecież napisane, że nie ma ono nic wspólnego z wymiernością bądź nie rzeczonej liczby.

Q.

ej stary, ale co to ma wspólnego z niewymiernością \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ?