\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)}\),
gdzie prawa strona jest określona i ciągła w prostokącie normalnym \(\displaystyle{ T\subset\mathbb{R}^2}\), tj. w iloczynie kartezjańskim dwóch przedziałów.Spróbujmy znaleźć wzór i zbadać istnienie rozwiązań tego równania.
Załóżmy na początek, że \(\displaystyle{ g(y)\neq 0}\).
Rozważmy dowolne ustalone funkcje pierwotne postaci \(\displaystyle{ F(x)=\int f(x)dx,\ H(y)=\int\frac{dy}{g(y)}}\). Niech
\(\displaystyle{ A=\inf F(x),\ B=\sup F(x)}\),
\(\displaystyle{ C=\inf H(y), D=\sup H(y)}\).
Wówczas wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)}\) są określone wzorem \(\displaystyle{ \varphi_{\gamma}(x)=H^{-1}(F(x)+\gamma)}\) dla \(\displaystyle{ x\in P}\),
gdzie \(\displaystyle{ \gamma\in(C-B,D-A)}\) jest dowolną stałą oraz \(\displaystyle{ P\subset\{x: C<F(x)+\gamma<D\}}\) jest dowolnym przedziałem.Niech teraz \(\displaystyle{ g(y_0)=0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y_0}\). Wówczas należy prowadzić rozważania osobno w każdym z prostokątów, którego jednym z brzegów jest prosta \(\displaystyle{ y=y_0}\) i znaleźć tam rozwiązania równania. Ponadto z postaci równania widać, że \(\displaystyle{ \varphi(x)=y_0}\) jest także rozwiązaniem równania w prostokącie T.
Można teraz badać, czy któreś z rozwiązań w mniejszych prostokątach nie da się przedłużyć do T, przez sklejenie z rozwiązaniem \(\displaystyle{ \varphi(x)=y_0}\). W tym celu należy sprawdzić tylko, czy odpowiednia granica funkcji \(\displaystyle{ \varphi_{\gamma}}\) na krańcu przedziału I, w którym jest określona, jest równa \(\displaystyle{ y_0}\). Jeśli tak jest oraz sklejenie jest funkcją różniczkowalną, to uznajemy, że tak otrzymana funkcja jest rozwiązaniem równania w prostokącie T.