Matematyka.pl

Kompletnie nie wiem jak zabrać się za zadanie, które zaraz przedstawię. Właściwie to nie mam pojęcia jak zabrać się za jakiekolwiek zadanie, którego celem jest uzasadnienie czegoś. Proszę o pomoc. Byłbym kontent gdyby ktoś wyjaśnił mi sposób podchodzenia do takich zadań tak jak wymaga się tego na maturze.

Oto zadanie:

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: \(\displaystyle{ n^{2}+n}\) jest parzysta



Poprawiłem co nieco zapis - DEXiu

Zauważ, że \(\displaystyle{ n ^{2}+n=n(n+1)}\). Jest to iloczn dwóch liczb naturalnych. Możesz teraz rozpatrzyć 2 przypadki: gdy n jest parzyste (2k) i gdy jest nieparzyste (2k+1).

1. n=2k
\(\displaystyle{ n(n+1)=2k(k+1) 2| n ^{2}+n}\)
2. n=2k+1
\(\displaystyle{ n(n+1)=(2k+1)(2k+2)=2(k+1)(2k+1) 2| n ^{2}+n}\)

c.n.d.

[ Dodano: 9 Lipca 2008, 14:06 ]
lub indukcyjnie:
dla n=1 zgadza się
dla n+1
(n+1)(n+2)=n(n+1)+2(n+1)=2(k+n+1)
c.n.d.

Lub jednym zdaniem: wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna jest parzysta, zatem ich iloczyn też musi być parzysty.

Q.

Ciekawe czy taki dowód też uznaliby na maturze. (Nie w ilości rzecz).

Dlaczego mieliby nie uznać? Jest przecież w pełni poprawny.

Ogólna rada: po przerobieniu n takich zadań każde następne będzie oczywiste i rozwiązanie nasunie się samo. Z resztą na maturze 99 % zadań robi się, potocznie mówiąc, "na pałę", to znaczy prawie w ogóle bez myślenia nad jakimś wyrafinowanym sposobem, tylko standardowym, szablonowym podejściem.
Jeśli przerobisz zadań tego typu kilka - kilkanaście - w razie potrzeby kilkadziesiąt, to będzie dla Ciebie dość naturalne co należy robić (tutaj pierwsze czego bym spróbował: rozbić na czynniki; najtrudniejsze mogłoby być zauważenie, że \(\displaystyle{ n(n+1)}\) jest iloczynem dwóch (kolejnych) liczb naturalnych, z których jedna musi być parzysta - a nawet jakbyś tego nie zauważył, to poratujesz się indukcją)