Matematyka.pl

Witam.
Mógłby ktoś pokazać jak się robi takie zadanie?

Niech V będzie przestrzenią liniową, a U jej podprzestrzeni�. Pokaż, że istnieją przekształcenia
liniowe L i M takie, że U jest jądrem L oraz U jest obrazem M.

Z góry dzięki!

Domyślam się, że chodzi o przekształcenia z \(\displaystyle{ V}\) do \(\displaystyle{ V}\).

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) będzie bazą \(\displaystyle{ U}\), a \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jej uzupełnieniem do bazy całego \(\displaystyle{ V}\). Połóżmy:
\(\displaystyle{ L(v) = \begin{cases}
0 \ dla \ v \mathcal{B} \\
v \ dla \ v \mathcal{A}
\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ M(v) = \begin{cases}
v \ dla \ v \mathcal{B} \\
0 \ dla \ v \mathcal{A}
\end{cases}}\)
Ponieważ liniowe przekształcenia wystarczy określić na wektorach bazowych, powyższe określenia w pełni definiują przekształcenia, łatwo też sprawdzić, że oba mają żądaną własność.

Q.

Dziękuje!