Matematyka.pl

Witam!
Nie jestem pewien odpowiedzi na następujące pytania, głównie mi chodzi o TAK lub NIE lub
bardzo krótkie wyjaśnienie..

1)
Czy przekształcenie liniowe jest jednoznacznie wyznaczone przez swoje wartości na wektorach bazowych?

2)
Czy każda przestrzeń liniowa posiada tylko jedną bazę? (Sądze, że może mieć wiele)

3)
Czy przekrój dwóch podprzestrzeni liniowych musi być podprzestrzenią liniową? (Sądze, że tak)

4)
Czy suma dwóch podprzestrzeni liniowych musi być podprzestrzenią liniową? (Sądze, że tak)

5)
Czy dowolna baza w skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej posiada bazę dualną?

6)
Czy dla endomorfizmu liniowego \(\displaystyle{ F:U V}\) zachodzi \(\displaystyle{ Ker(F)={0}}\)?

7)
Czy funkcja \(\displaystyle{ F:R[X] R[X], F(W(X))=W'(X)}\) jest endomorfizmem liniowym? (Sądzę, że tak)

8)
\(\displaystyle{ dim_{k}(K^{n})^{*}=}\) ? (Sądzę, że wynosi n)

9)
Czy funkcja \(\displaystyle{ F:R^{2}\rightarrow R^{2}, F(x,y)=(y,x)}\) jest funkcjonałem liniowym? (Sądzę, że tak)

10)
Czy funkcja \(\displaystyle{ F:R^{2}\rightarrow R, F(x,y)=x-y}\) jest przekształceniem liniowym?

11)
Jeśli \(\displaystyle{ dim_{R}Ker(F)=2}\) dla przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ F:R^{5} R^{6}}\), to \(\displaystyle{ dim_{R}Im(F)=?}\) (Sądzę, że 3)

12)
Czy istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ F:R^2} R^{3}}\), takie, że:
a) \(\displaystyle{ dim_{R}Ker(F)=dim_{R}Im(F)=1}\)? (Sądzę, że tak)
b) \(\displaystyle{ dim_{R}Im(F)=3}\)? (Sądzę, że nie)
Gdyby było przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ R^{3} R^{2}}\) to odp byłby odwrotne nieprawdaż?

13)
Czy funkcja \(\displaystyle{ F:R^{2} R^{2}, F(x,y)=(x^{2},x y)}\) jest przekształceniem liniowym? (Sądzę, że nie)

Z góry dziękuję za jakiekolwiek wsparcie!
POZDRAWIAM

1. tak
2. nie
3. tak
4. suma mnogościowa nie, prosta tak
5. ?
6. jeżeli endo nie musi być różnowartościowy, to nie
7. jeżeli endo nie musi być różnowartościowy, to tak
8. tak
9. funkcjonałem nie - funkcjonał to odwzorowanie w ciało
10. tak
11. tak: dim im + dim ker = dim przestrzeni wyjściowej
12. a) tak; b) nie
13. nie

Przepraszam, w 6) chodziło o dowolny izomorfizm nie endomorfizm

Jeszcze nie jestem pewien ile wynosi \(\displaystyle{ dim_{R}(R R)=}\)?

6. jeżeli izomorfizm, to wymiar jądra jest równy 0

\(\displaystyle{ dim_R (R\times R)}\) - czy chodzi o "zwyczajne er dwa", czy to jakaś przestrzeń homomorfizmów?

Tak zostało sformułowane pytanie, nie było żadnych konkretnych wskazówek jak to potraktować.

hmm... niestety, same znaczki mogą oznaczać różne rzeczy. jeśli jest to "er dwa" to wymiar jest dwa, oczywiście.