Matematyka.pl

Sprawdź czy funkcja \(\displaystyle{ F(x, y ) =(2y + x^{2} + 2 ) e^{y}}\) ma w pkt (1 : - 1 ) ekstremum ...

Wyznaczasz najpierw pochodną względem x, potem względem y,
Oba równania przyrównujesz do 0, budujesz układ równań i go rozwiązujesz.

Jeżeli pkt. (1; -1) jest rozwiązaniem układu to może tam istnieć ekstremum. Jeżeli nie- to nie:P.

Jeżeli spełnia ten warunek to budujesz czteroelementową macierz: górny lewy róg podwójna pochodna względem x, przeciwny róg podwójna pochodna względem y, pozostałe 2 elementy to 2. pochodna dxdy. Oczywiście mam na myśli wartości tych pochodnych w tym pkt.

Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.

Pozdrawiam.

miki999 pisze:Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.

Nie do końca bo gdy wyznacznik jest równy zero to jednak tam może być ekstremum (choć nie musi).

Słuszna uwaga, ale przeciwny wypadek to wyznacznik mniejszy od zera :>

miki999 pisze:Słuszna uwaga, ale przeciwny wypadek to wyznacznik mniejszy od zera :>

Dlaczego? Z kontekstu "Wyznacznik >0 jest ekstremum w przeciwnym wypadku brak.", przeciwnym przypadkiem jest taki, w którym wyznacznik nie jest dodatni.

A czy mógłby to ktoś obliczyć ?

Benek_Majonez pisze:Sprawdź czy funkcja \(\displaystyle{ F(x, y ) =(2y + x^{2} + 2 ) e^{y}}\) ma w pkt (1 : - 1 ) ekstremum ...

\(\displaystyle{ F(x, y ) =2ye ^{y} + x^{2}e ^{y} + 2 e ^{y}.}\)
\(\displaystyle{ F ^{'} _{x}=2xe ^{y}; \ F ^{'} _{y}= 2e ^{y}+2ye ^{y}+x ^{2}e ^{y}+2e ^{y}=e ^{y}(2+2y+x ^{2}+2).}\)
\(\displaystyle{ F ^{'} _{x}(1,-1)=\frac{2}{e}.}\)
W danym punkcje pierwsze pochodne nie są równe 0. Funkcja nie ma w nim ekstremum.