Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z nastęującym zadaniem, mam sprawdzić trzy aksjomaty ciała:
1) łączności dodawania (a + b) + c = a + (b + c)
2) łączności mnożenia (a*b) * c = a * (b * c)
3) rozdzielności mnożenia względem dodawania (a + b) * c = a * c + b * c
Dla Zn={0, 1, ..., n-1}

Oraz sprawdzić czy poniższe rzeczy są ciałami:
\(\displaystyle{ Z_3=\{a+\text{bi},a,b Z_3\}, i^2=-1}\)
\(\displaystyle{ Z_5=\{a+\text{bi},a,b Z_5\}, i^2=-1}\)

Nie mam pojęcia jak się tym zająć więc za rozwiązania lub wskazówki z góry wielkie dzięki!

Co do sprawdzenia tamtych struktur - podpowiedz:
FAKT: W ciele nie ma wlasciwych dzielnikow zera.

OK, ale i tak nie mam pojęcia jak to wykorzystać. Nic nie zrozumiałem z wykładów i ćwiczeń, a w żadnej książce nie mogę znaleźć sposobu sprawdzenia tych ciał wykorzystując aksjomaty.

Wiesz co to jest dzielnik zera?

W tej strukturze Z_3 mamy 2*2=0, a wiec 2 jest wlasciwym dzielnikiem zera, czyli ta struktura nie moze byc cialem.
W Z_5 wymysl sam

podpowiedz do faktu podanego przez liu: jak n=pq , p,q>1 to pq=0 w tymze ciele (to chyba dosc oczywiste).
w ogole to wezze chlopie popatrz na te aksjomaty co je masz wypisane i zacznij sprawdzac po kolei po prostu. ktorys sie nie zgodzi to lipa - nie jest ta "rzecz" (Ty tam u gory widzisz a nie grzmisz) cialem.

No te co on tam wypisal to akurat sa tez w pierscieniu przemiennym, i by mu sie zgodzilo;P

no jakby robil bezmyslnie to pewnie by tak bylo.

Nic nie zrozumialem:(
Jak 2x2 może być w tym ciele równe 0?
Czy moglibyście sprawcić dla mnie ciało Z_n przez jeden aksjomat i na przykład ciało Z_3 przez też jakiś akasjomat, abym mógł zrozumieć o co w tym chodzi?

Jeszcze jedno, o co chodzi w charakterystyce, nie rozumeim jak 1x1x1.. jest równe 0?

Wiem że moje pytania mogą się wydawać tempe ale nie mogę tego zrozumieć, a muszę to zrobić.

Eh nie czytałeś podręcznika... Najpierw trzeba wiedzieć, co to jest to Z_n i jak się tam definiuje działania.

A pierwszy aksjomat:
Oznaczę resztę z dzielenia przez n jako \(\displaystyle{ (\cdot)_n}\), działanie jako \(\displaystyle{ +_n}\).
\(\displaystyle{ (a+_n b) +_n c = (a+b)_n +_n c = (a+b+c)_n = a +_n (b+c)_n = a+_n (b+_n c)}\).
Jak możesz rozumieć, o co chodzi w charakterystyce jeśli nie znasz najprostszych przykładów ciał na których można ją wytłumaczyć?

Czytałem, znam definicję ale nie wiem jak to wykorzystać:(
btw. Bardzo mało jest książek do algebry dostępnych na rynku.

Dzięki za wyjaśnienie pierwszego zadania, czyli pozostałe dowody będą wyglądać tak:
Oznaczam resztę z dziele sumy jako (+)n, oraz resztę z dzielenia iloczynu jako (*)n
5) \(\displaystyle{ (a*_nb)*_nc = (a*b*c)_n=a*_n(b*c)_n=a*_n(b*_nc)}\)
9) \(\displaystyle{ (a+_nb)*_nc=(a*c+b*c)_n=a*_nc+_nb*_nc}\)
Czy wszystko jest w porządku?

Mogłabyś napisać sprawdzenie dowolnego aksjomatu dla ciała Z3 lub Z5, tak żebym mógł powturzyć to do pozostałych aksjomatów i zrozumieć?

Przyznam, że trochę skopałem sprawę, bo zamiast Z_3 cały czas moje oczy widziały Z_4... ;P

Czy mógłby ktoś przeprowadzić dowolny dowód aksjomatu dla ciała np:
\(\displaystyle{ Z_3=\{a+\text{bi},a,b Z_3\}, i^2=-1}\)
Chciałbym poprostu zrozumieć sposób dowodzenia aksjomatów dla takich ciał.