Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{4x-5}{|x-2|} qslant 0}\)

Oto jak ja robiłem, po kolei:

Najpierw dziedzina: \(\displaystyle{ D=R\{2}}\)

Rozpisanie modułu:

\(\displaystyle{ |x-2| = \begin{cases} x-2 : x qslant 2 \\ -x+2 : x < 2 \end{cases}}\)

No i rozpatruję dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1. x ( - ; 2 )}\)

Uwzględniając ten przedział, moduł zmienił znak, zatem:

\(\displaystyle{ \frac{4x-5}{-x+2} qslant 0 \\ (4x-5)(-x+2) qslant 0}\)

Rozwiązaniem tej funkcji jest przedział \(\displaystyle{ < \frac{5}{4} ; 2 )}\)

No i teraz drugi przypadek:


2. \(\displaystyle{ x \cup (2 ; +\infty)}\)

Jednakże po uwzględnieniu przedziału w którym rozpatrywałem funkcję prawidłowym rozw. będzie przedział \(\displaystyle{ x (2 ;+ )}\)

No i teraz muszę znaleźć wspólne rozwiązanie przedziałów, z przypadku pierwszego i drugiego. Mi wychodzi że jest to zbiór pusty, czyli bzdura...

Niech ktoś mi powie co ja tu robię źle.

to nie ma być część wspólna tylko suma przedziałów
rozwiązaniem będzie
x \(\displaystyle{ \in}\)< \(\displaystyle{ \frac{5}{4}}\),2)\(\displaystyle{ \cup}\)(2, \(\displaystyle{ \infty}\))

A dlaczego suma?

bo jak masz warunek x \(\displaystyle{ \in}\)(- \(\displaystyle{ \infty}\),2) i x \(\displaystyle{ \in}\)

w definicji wartosci bezwzglednej, ktora rozpisales - miedzy tymi kryteriami jest LUB.
Dlatego trzeba na koniec wziac sume tych przedzialow i to jest rozwiazanie.

A jeśli mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{|x+2|}{x-4} < 0}\)

Prawidłowe rozwiązanie znajduje po znalezieniu wspólnej częsci przedziałów. Tak więc kompletnie tego nie rozumiem, raz musze znaleźć wspólną część a raz zsumować przedziały :/

to akurat patrzysz kiedy mianownik jest ujemny a licznik niezerowy...
ale jak by była inna liczba zamiast zera, to też byś brał sumę przedziałów.
sumę bo rozwiązaniem muszą być wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność, a nie tylko powiedzmy część

No to czemu w tej nierówności biorę wspólną część a nie sumę ?

gdzie bierzesz część wspólną??

1. \(\displaystyle{ \frac{4x-5}{|x-2|} qslant 0}\) w tym przykładzie musiałem zsumować dwa przedziały.

2. \(\displaystyle{ \frac{|x+2|}{x-4}}\)

pokaż jak rozwiązujesz do drugie

Dobra, nieważne, już sobie poradziłem. Wystarczyło stwierdzić, że licznik jest zawsze liczbą dodatnią zatem wystarczy jeśli mianownik będzie mniejszy od zera, oraz iks będzie rózny od -2 i 4.

A jak zrobić np taki przykład:

\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{|x^2 - 4|} q 2}\)

mianownik jest zawsze dodatni ( po określeniu dziedziny ) więc możesz wymnożyć i dwa przedziały uwzględnić ( w sensie chodzi o wartość bezwzględną)

No ale w sumie ta wartość bezwzględna będzie zawsze nieujemna prawda? Nie wystarczy, że rozwiązę taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{x^2 - 4} - 2 q 0}\)

nie, bo dla \(\displaystyle{ x (-2,2)}\) ta nierówność wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{2x - x^2}{4-x^2} q 2}\)