Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y \prime +2y=xe^{-2x} + sinx}\) Probowałem ale sie pogubiłem w metodzie przewidywania

1) rozwiazujemy rownanie jednorodne postaci:
\(\displaystyle{ y'+2y=0}\)
2)przewidujemy rozwiazanie dla rownania:
\(\displaystyle{ y'+2y=xe^{-2x}}\)
3)2)przewidujemy rozwiazanie dla rownania:
\(\displaystyle{ y'+2y=\sin{x}}\)

Jak mozesz to sprawdz czy to jest poprawne rozwiazanie \(\displaystyle{ y=x(Ax+b)+Ccosx +Bsinx}\)

kamil256 pisze:Jak mozesz to sprawdz czy to jest poprawne rozwiazanie \(\displaystyle{ y=x(Ax+b)+Ccosx +Bsinx}\)

a mozesz rozpisac jak do tego doszedles ?

To jest jedno z możliwych rozwiązań które mi pasuje najbardziej , znaczy wychodzi mi coś w podobie i nie wiem na czym mam sie wzorować dlatego pytam sie czy to jest dobre abym w końcu mógł sam dojść do tego.

Raczej powinnieneś przewidywać RSRN w takiej postaci (zgubiłeś gdzieś \(\displaystyle{ e^{-2x})}\):
\(\displaystyle{ y=x(Ax+B)e^{-2x}+Ccosx+Dsinx}\)

A tak poza tym to wypadałoby wyliczyć współczynniki, zapisać RORJ i na końcu zapisać RSRN - i to chyba w twoim wypadku będzie kompletne rozwiązanie

Ok dzięki a powiedz mi jak mam równanie różniczkowe to jak sie sprawdza czy posiada jedno rozwiązanie spełniające warunek np.y(1)=1

[ Dodano: 25 Czerwca 2008, 21:09 ]
\(\displaystyle{ 1) yo=C e^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ 2)ys=(ax+b e^{-2x})x}\)

I jak będzie wyglądała pochodna z \(\displaystyle{ ys}\)

\(\displaystyle{ 3)ys=asinx+bcosx}\)

\(\displaystyle{ \alpha=-2 i\beta=1}\)
\(\displaystyle{ -2+i1 2}\)

Czyli nie wstawiamy x
i co dalej trzeba z tym zrobic

kamil256 pisze:\(\displaystyle{ 2)ys=(ax+b e^{-2x})x}\)
I jak będzie wyglądała pochodna z \(\displaystyle{ ys}\)

Trochę inaczej wygląda ys
\(\displaystyle{ y_s=(ax+b)e^{-2x}x=ax^2e^{-2x}+bxe^{-2x}}\)
\(\displaystyle{ y_s'=2axe^{-2x}-2ax^2e^{-2x}+be^{-2x}-2bxe^{-2x}}\)

I teraz aby obliczyć współczynniki wstawiasz do równania:
\(\displaystyle{ y_s'+2y_s=xe^{-2x}}\)

Podobnie robisz z drugim równaniem w ten sposób otrzymujesz RSRN i teraz aby otrzymać RORN czyli ostateczne rozwiązanie sumujesz RSRN + RORJ

Okej dzięki jak możesz to odpowiedz mi na pytanie które zadałem post wyżej

Jak bym wiedział to bym odpowiedział

Jesli chodzi o to pytanie odnosnie tego punktu i rozwiazania, to poprostu podstawiasz te wartosci do wyniku i sprawdzasz czy nalezy do wykresu POZDRO