Strona 1 z 1
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 11:31
autor: szd
Wyznaczyć masę krzywej, jeżeli gęstość jest równa wartości bezwzględnej trzeciej współrzędnej punktu
\(\displaystyle{ L: x=tcost}\)
\(\displaystyle{ y=tsint}\)
\(\displaystyle{ z=t}\)
\(\displaystyle{ t [0; 1]}\)
Jak w ogóle liczy się tego typu całki, bo nasz doktor od ćwiczeń uwielbia takie zadania, a na pewno jest jakiś wzór na zapisanie całki.
Dziękuje za pomoc!
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 13:26
autor: Emiel Regis
Masa krzywej to jest całka po tej krzywej z gęstości. U Ciebie tak to bedzie wygladalo:
\(\displaystyle{ m = t_L \rho(x,y,z) ds = t_L |z| ds}\)
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 13:42
autor: szd
nie bardzo dalej rozumiem:/
m=\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}|z|dz}\)
??
a z interpretujemy w jaki sposób?
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 13:57
autor: luka52
\(\displaystyle{ \mbox d s = \sqrt{x_t'^2 + y_t'^2 + z_t'^2} \, \mbox d t dz}\)
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 15:17
autor: szd
W takim razie powinno to wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{ x}{ t} = cost - tsint}\)
\(\displaystyle{ \frac{ y}{ t} = sint + tcost}\)
\(\displaystyle{ \frac{ z}{ t} = 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{cos^{2}t - 2tcostsint + t^{2}sin^{2}t + sin^{2}t + 2tcostsint + t^{2}cos^{2}t + 1}dt= t_{0}^{1} \sqrt{2+t^{2}}dt = \frac{ \sqrt{27} }{3}}\)
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 15:33
autor: luka52
x, y i z są funkcjami jednej zmiennej więc nie ma powodu by używać znaku \(\displaystyle{ \partial}\). Dodatkowo źle policzyłeś pochodne.
Masa krzywej
: 24 cze 2008, o 15:53
autor: szd
Wysłałem jeszcze raz, poprawione. Zapomniałem tylko usunąć znaku \(\displaystyle{ \partial}\).