Matematyka.pl

Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = \(\displaystyle{ ln(x+y)-x ^{2}- y^{2}}\) .

obliczyłem pochodne cząstkowe: \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{1}{x+y}-2x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial y} = \frac{1}{x+y}-2y}\)

Pprzyrównuje do 0. Wychodzi mi, że:
z pierwszej pochodnej: \(\displaystyle{ y= \frac{1-2x}{2x}}\)
wstawiając do drugiego: \(\displaystyle{ 4x^{3}-4x^{2}+4x-1=0}\).
Chyba jakaś bzdura...:/
Aha no i nie wiem czy powinno być założenie że x+y>0 ??

\(\displaystyle{ \frac{ f}{ x} = \frac{1}{x+y}-2x=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ f }{ y} = \frac{1}{x+y}-2y =0}\)

Odejmuje stronami i dostaję:
\(\displaystyle{ -2x+2y=0 x=y}\)

Wstawiam to do równania obojętnie którego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x}-2x=0 1-4x^2=0 x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}}\)

a obowiązuje założenie x+y>0 bo z tego wynikałoby że nie ma punktu podejrzanego o ekstremum???

Nie.
No tak x+y>0 więc z tego wynika, że tylko jeden punkt rozpatrujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P_{0} ( \frac{1}{2}; \frac{1}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial x \partial y} = - \frac{1}{(x+y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f }{ \partial y \partial x} = - \frac{1}{(x+y)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}x } = - \frac{1}{(x+y)^{2}} - 2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}y } = - \frac{1}{(x+y)^{2}} - 2}\)


\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}x }(x _{0} ; y_{0}) = -3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial^{2}y }(x _{0} ; y_{0}) = -3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial x \partial y}(x _{0} ; y_{0}) = -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f^{2}}{ \partial y \partial x}(x _{0} ; y_{0}) = -1}\)


\(\displaystyle{ W(x_{0}; y_{0}) = 8 >0}\)

ale \(\displaystyle{ \frac{ f^{2}}{ ^{2} x } = -3 }\)maksimum w \(\displaystyle{ P_{0}}\)

Wg moich obliczeń:

\(\displaystyle{ W(x_0,y_0)=0}\)

Więc wychodzi nam na to, że jest to przypadek wątpliwy i ta metoda tego nie rozstrzyga czy w tym punkcie jest minimum czy maksimum czy może nic tam nie ma..

jeżeli pochodnę cząstkowe sa dobrze, to jak Ci może wyznacznik wyjść 0?

Sorry pomyliło mi się ................. Masz rację!! Przepraszam

W takim razie pora nacisnąć "Pomógł"